Unter welchem Winkel stößt das Dreieck PQR an die Seitenflächen des Würfels?

Question

Aufgabe:

Winkel zwischen Geraden und Ebenen (Vektoren)

Problem/Ansatz:

Von einem Würfel der Kantenlänge 4 wird an der Ecke F ein Stück abgeschnitten, die Schnittfläche bildet das Dreieck PQR. P(4|1|4) Q(4|4|3) und R(1|4|4).

a) Unter welchem Winkel stößt das Dreieck PQR an die Seitenflächen durch die Punkte B, C und G bzw. die Deckfläche durch die Punkte E, G und H?

b) Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks PQR?

Bei Aufgabe a) bin ich an dem Punkt gekommen, wo ich den Normalenvektor ausgerechnet habe und ist das Vielfache voneinander, habe als Vektor (3|3|9) raus. Ich komme aber nicht mehr weiter, könnte mir vielleicht jemand helfen, danke sehr.

Comments

https://www.studysmarter.de/schule/mathe/geometrie/winkel-zwischen-gerade-und-ebene/

Answer 1

Bestimme auch die Normalenvektoren der Seitenfläche bzw. Deckfläche. Der Winkel zwischen den Ebenen ist dann der Winkel zwischen den Normalenvektoren.

Answer 2

Hallo

a)  ja du nimmst das Skalarprodukt der auf 1 normierten Normalenvektoren der entsprechenden Flächen. (Dreieck und Seitenebenen )

b) Der Betrag des Vektorprodukts von 2 Seitenvektoren ergibt den doppelten Flächeninhalt

Gruß lul

Answer 3

a) Unter welchem Winkel stößt das Dreieck PQR an die Seitenflächen durch die Punkte B, C und G bzw. die Deckfläche durch die Punkte E, G und H?

PQ = [0, 3, -1] ; PR = [-3, 3, 0] → n = [0, 3, -1] ⨯ [-3, 3, 0] = 3·[1, 1, 3]

α = ARCCOS( [1, 1, 3]·[0, 1, 0] / (|[1, 1, 3]|·|[0, 1, 0]|) ) = 72.45°

β = ARCCOS( [1, 1, 3]·[0, 0, 1] / (|[1, 1, 3]|·|[0, 0, 1]|) ) = 25.24°