Question

Bestimmen Sie alle Winkel im Dreieck PQR. P(3/4) Q(6/3) R(3/0)

Answer 1

Mach dir mal eine kleine Skizze. Dann kannst du mit der einfachsten Trigonometrie die Winkel bestimmen.

Wenn du auch mit Zeichnung immer noch keine Ahnung hast frag gerne noch mal nach. Aber du solltest wissen, dass in rechtwinkligen Dreiecken der Sinus, Kosinus und der Tangens benutzt werden darf.

Answer 2

Hier eine Möglichkeit zur Berechung der Winkel (nicht unbedingt die einfachste):

Da die Punkte P und R auf einer Senkrechten liegen, ist die Höhe h des Dreiecks über dieser Senkrechten gerade gleich dem horizontalen Abstand des Punktes Q von dieser Senkrechten und beträgt somit (Differenz der x-Koordinaten der Punkte Q und P (oder auch Q und R) ):

h = 6 - 3 = 3

Bezeichnet man den Fußpunkt der Höhe h auf der Senkrechten PR mit F, dann ist die Höhe h Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Strecke RF und dessen Hypotenuse die Strecke QR ist.

Somit gilt für den Winkel bei R (ich nenne ihn alpha):

sin ( alpha ) = h / | QR |

wobei | QR | die Länge der Strecke QR ist. Es gilt (nach Pythagoras) :

| QR | = √ ( ( x_q - x_r ) ² +  ( y_q - y_r ) ² ) = √ ( ( 6 - 3 ) ² + ( 3 - 0 ) ² ) = √ 18

also:

sin ( alpha ) = 3 / √ 18

<=> alpha = arcsin ( 3 / √ 18 ) = 45 °

 

Die Höhe h ist aber auch Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Strecke PF und dessen Hypotenuse die Strecke QP ist.

Somit gilt für den Winkel bei P (ich nenne ihn gamma):

sin ( gamma ) = h / | QP |

wobei | QP | die Länge der Strecke QP ist. Es gilt (nach Pythagoras) :

| QP | = √ ( ( x_q - x_p ) ² +  ( y_q - y_p ) ² ) = √ ( ( 6 - 3 ) ² + ( 3 - 4 ) ² ) = √ 10

also:

sin ( gamma ) = 3 / √ 10

<=> gamma = arcsin ( 3 / √ 10 ) ≈ 71,6 °

Somit verbleibt für den Winkel bei Q (ich nenne ihn beta):

beta = 180 ° - 45 ° - 71,6 ° = 63,4 °

Answer 3

 \(A(3|0),B(6|3),C(3|4)\)

Steigung \(m_1\) der Geraden durch \(A\) und \(B\):

\(m_1= \frac{3-0}{6-3} =1\)

Steigung \(m_2\) der Geraden durch \(B\) und \(C\):

\(m_2= \frac{3-4}{6-3} =-\frac{1}{3}\)

Steigung \(m_3\) der Geraden durch \(A\) und \(C\):

Die Gerade steht senkrecht auf der x-Achse, Somit ist der Winkel \(90°\)

Da nun \(m_1 =1\) ist, sind dies dann \(45°\)

Somit ist \(α=45°\)

Berechnungsweg von \(β\):

\(m=|\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}|\)

\(\tan (β)=|\frac{-\frac{1}{3}-1}{1-\frac{1}{3}}| =|\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}|=2\)

\(\tan^{-1}(2)=63,43°\)

Winkelsumme im Dreieck ist \(180°\)

\(γ=180°-(α+β)=180°-(45°+63,43°)=71,57°\)