Komplexe Zahlen in algebraische/kartesische Form umwandeln

Question

Aufgabe:

1) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der (algebraischen/kartesischen)
Form x + yi mit x, y ∈ R dar:

a) z₁=\(\frac{\sqrt{2} + i}{\sqrt{2} - i} +  \frac{i}{-2\sqrt{2} + 2i}\)

b)\( z_2 = \frac{\sqrt{a} + i\sqrt{b}}{\sqrt{a} - i\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b} + i\sqrt{a}}{\sqrt{b} - i\sqrt{a}} \)

c) \( z_3 =(\frac{5 + 13i}{9 + 4i})^{16} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir einer sagen, wie genau man bei so einer Aufgabe vorgehen muss? Brüche zusammenfassen? Heißt erweitern dann addieren etc.?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du Brüche zusammenfassen kannst, ist das fast immer nützlich. Um die Nenner der Brüche reell zu machen, erweitet man die Brüche mit den komplex-konjugierten Nennern, um anschließend die dritte binomische Formel anwenden zu können.

$$z_1=\frac{\sqrt2+i}{\sqrt2-i}+\frac{i}{-2\sqrt2+2i}=\frac{\sqrt2+i}{\color{blue}\sqrt2-i}+\frac{i}{-2\color{blue}(\sqrt2-i)}=\frac{1}{\color{blue}\sqrt2-i}\left(\sqrt2+i-\frac i2\right)$$$$\phantom{z_1}=\frac{\pink{(\sqrt2+i)}}{(\sqrt2-i)\pink{(\sqrt2+i)}}\left(\sqrt2+\frac i2\right)=\frac{\sqrt2+i}{\underbrace{(\sqrt2)^2-i^2}_{=2-(-1)}}\cdot\frac{2\sqrt2+i}{2}=\frac{(\sqrt2+i)(2\sqrt2+i)}{3\cdot2}$$$$\phantom{z_1}=\frac{4+2\sqrt2\,i+\sqrt2\,i+i^2}{6}=\frac{3+3\sqrt2\,i}{6}=\frac12+\frac{\sqrt2}{2}\,i$$

$$z_2=\frac{\sqrt a+i\sqrt b}{\sqrt a-i\sqrt b}-\frac{\sqrt b+i\sqrt a}{\sqrt b-i\sqrt a}=\frac{(\sqrt a+i\sqrt b)^{\color{blue}2}}{(\sqrt a-i\sqrt b)\color{blue}(\sqrt a+i\sqrt b)}-\frac{(\sqrt b+i\sqrt a)^{\pink2}}{(\sqrt b-i\sqrt a)\pink{(\sqrt b+i\sqrt a)}}$$$$\phantom{z_2}=\frac{a+2i\sqrt{ab}+i^2b}{a-i^2b}-\frac{b+2i\sqrt{ab}+i^2a}{b-i^2a}\stackrel{(i^2=-1)}{=}\frac{a+2i\sqrt{ab}-b}{a+b}-\frac{b+2i\sqrt{ab}-a}{a+b}$$$$\phantom{z_3}=\frac{2a-2b}{a+b}=\frac{2(a-b)}{a+b}$$

$$z_3=\left(\frac{{\color{blue}5}+\pink{13i}}{9+4i}\right)^{16}=\left(\frac{({\color{blue}9}\pink{+4i})+(\pink{9i}{\color{blue}-4})}{9+4i}\right)^{16}=\left(\frac{(9+4i)+i\cdot(9+4i)}{9+4i}\right)^{16}$$$$\phantom{z_3}=(1+i)^{16}=\left((1+i)^2\right)^8=(1+2i+i^2)^8=(2i)^8=2^8\cdot(i^4)^2=2^8=256$$

Answer 2

Bei der ersten etwa so, erst mal zu einem Bruch machen:

\(\frac{\sqrt{2} + i}{\sqrt{2} - i} +  \frac{i}{-2\sqrt{2} + 2i}\)

\( = \frac{\sqrt{2} + i}{\sqrt{2} - i} +  \frac{i}{-2(\sqrt{2} - i)} \)

\( = \frac{2\sqrt{2} + 2i}{2(\sqrt{2} - i)} -  \frac{i}{2(\sqrt{2} - i)} \)

\( = \frac{2\sqrt{2} + 2i - i}{2(\sqrt{2} - i)}  \)

\( = \frac{2\sqrt{2} + i}{2(\sqrt{2} - i)}  \)

Dann mit dem Konjugierten der Klammer erweitern:

\( = \frac{(2\sqrt{2} + i)(\sqrt{2} + i)}{2(\sqrt{2} - i)(\sqrt{2} + i)}  \)

\( = \frac{4 + 2i\sqrt{2} + i\sqrt{2}-1}{2(2+1)}  \)

\( = \frac{3 + 3i\sqrt{2} }{6} = \frac{1 + i\sqrt{2} }{2} =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2} }{2} i \)

Bei z3 erst mal in die Polarform überführen, damit geht das Potenzieren einfacher.

Comments

okay hab nach umformen bei z3= 1+i raus

dann (1+i)¹⁶ hab ich so berechnet ((1+i)² )⁸ ergibt 256

also z3= 256+0i.

was müsste ich aber machen wenn der exponent zb 15 wäre also eine ungerade zahl dann könnte ich ja nicht mehr wie im beispiel oben mit 2 und 8 aufteilen. gibts noch einen anderen weg als die einfache berechnung?

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(1+i)¹⁵=\( \frac{(1+i)^{16}}{1+i} \)=\( \frac{256}{1+i} \); erweitern mit 1-i.

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okay notier ich mir danke dir