Aloha :)
Deine Umwandlung in die Polarform gibt nur eine mögliche Darstellung wieder. Du kannst vom Winkel beliebig oft \(2\pi\) subtrahieren bzw. dazu addieren:$$z^4=4\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)}\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$Beim Ziehen der 4-ten Wurzel, wirst du 4 Werte für \(k\) finden, die einen Winkel aus \([0;2\pi[\) ergeben:$$z=4^{\frac{1}{4}}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)\cdot\frac{1}{4}}=\sqrt2\,e^{i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{k}{2}\pi\right)}\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$Für \(k=0,1,2,3\) findest du die 4 unterschiedlichen Lösungen:$$z_1=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{12}}\;\;;\;\;z_2=\sqrt2\,e^{i\frac{7\pi}{12}}\;\;;\;\;z_3=\sqrt2\,e^{i\frac{13\pi}{12}}\;\;;\;\;z_4=\sqrt2\,e^{i\frac{19\pi}{12}}$$Alle anderen \(k\in\mathbb{Z}\) lassen such auf diese \(4\) zurückführen.
