Löse die Gleichung z² +4(√3−2i)z−22+2√3i = 0 - Gebe das Ergebnis in kartesischer Form an.

Question

Aufgabe:

Löse die Gleichung z² +4(√3−2i)z−22+2√3i = 0 - Gebe das Ergebnis in kartesischer Form an.

Außerdem ist gewünscht, dass man es doch mit der "Lösungsformel für quadratische Gleichungen" erledigt, aka mit der PQ Formel.

Notiz: Das einzige was unter der Wurzel steht ist die 3, das was danach folgt ist nicht unter der Wurzel. Aka √3i ist √3 * i, die i ist nicht unter der Wurzel.

Problem/Ansatz:

Dachte ich würde das hinkriegen, kriege aber Zweifel da die Zahlen immer komischer werden.

Mit 4(√3-2i) als P und -22+2√3*i als Q hatte ich versucht die Gleichung zu lösen, hänge jetzt aber daran das ich unter der Wurzel 18-14√3i stehen habe. Ob das überhaupt stimmt, weiß ich nicht. Dann hatte ich geschaut wie man doch die Wurzel aus nem i zieht, und mir wurde empfohlen das erstmal in Polar-form umzuwandeln.

Nun sitzt ich hier mit phi = 0,9322 und weiß noch nicht mal was ich damit anfangen soll, da ich bei den Polarkoordinaten eigentlich immer mit nem Pi* irgendwas arbeite.

Jegliche Hilfe wäre Klasse..

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Gib das Ergebnis ...

... das i ...

Answer 1

Hallo,

\( z^{2}+\ 4(\sqrt{3}-2 i) z-22+2\sqrt3 i=0 \)

\( z_{1/2}=-2(\sqrt{3}-2 i) \pm \sqrt{(- 2(\sqrt{3}-2i))^{2}+22-2 \sqrt{3}i} \)
\( z_{1/2}=-2(\sqrt{3}-2 i) \pm \sqrt{ -4-16\sqrt{3}i+22-2 \sqrt{3}i} \)
\( z_{1 / 2}=-2(\sqrt{3}-2 i) \pm \sqrt{18-18 \sqrt{3i}} \)
\( z_{1 / 2}=-2\sqrt{3}+4 i-\pm 3 \sqrt{3}-3 i \)

\( z1=-5 \sqrt{3}+7 i \)

\( z2=\sqrt{3}+i \)

Answer 2

z² +4(√3−2i)z−22+2√3i = 0

z² +4(√3−2i)z = 22+2√3i

Quadratische Ergänzung [2(√3−2i)]²=-4-16√3i auf beiden Seiten addieren:

z² +4(√3−2i)z-4-16√3i = 22+2√3i-4-16√3i

[z+2(√3−2i)]²=18-14√3i

Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.  

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Außerdem ist gewünscht, dass man es doch mit der "Lösungsformel für quadratische Gleichungen" erledigt, aka mit der PQ Formel.

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Im Übrigen enthält die zweite Zeile einen Vorzeichenfehler. Es muss heißen ...=22-2√3i.