Aufgabe:
Text erkannt:
Sei
\( A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right) . \)
1. Überprüfen Sie für diese Matrix die Aussagen (a) bis (e) des Satzes von Perron.
2. Geben Sie eine allgemeine Formel für die Matrix \( A^{m} \) für \( m \in \mathbb{N} \) an.
Problem/Ansatz:
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Satz 6.13 (Satz von Perron). Sei A eine positive Matrix, dann gilt:
(a) \( \rho(A)>0 \),
(b) \( \rho(A) \) ist Eigenwert und der zugehörige Eigenraum ist eindimensional,
(c) es gibt einen eindeutigen positiven Vektor \( \vec{u} \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \|\vec{u}\|_{1}=1 \) und \( A \vec{u}=\rho(A) \vec{u} \),
(d) es gibt einen eindeutigen positiven Vektor \( \vec{y} \in \mathbb{R}^{n} \), sodass \( \langle\vec{u}, \vec{y}\rangle=1 \) und \( A^{\top} \vec{y}= \) \( \rho(A) \vec{y} \),
(e) \( |\lambda|<\rho(A) \) für jeden weiteren Eigenwert von \( A \),
(f) es gilt für die Rank-1-Matrix \( C:=\vec{u} \vec{y}^{\top} \), dass
\( \lim \limits_{m \rightarrow \infty} \rho(A)^{-m} A^{m}=C \)
(g) für jeden Vektor \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \) gilt:
\( \lim \limits_{m \rightarrow \infty} \rho(A)^{-m} A^{m} \vec{x}=\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle \vec{u} . \)
Wäre lieb, wenn mir jemand die Aufgabe erklären und vorrechnen könnte.
Danke im Voraus.
