Matrizen lösen C=BT•A.

Question

Aufgabe:

… Matrizen berechnen

Problem/Ansatz:

… hab ich alles richtig gemacht?

Text erkannt:

Beispiel: Berehne nach \( C=B^{\top} \cdot A \)
\( A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ 3 a & 1 \\ 0 & a \\ 1 & a \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll} B_{1} & B_{2} \\ 1 & a \\ 2 & b \\ -3 & 3 \end{array}\right) \rightarrow B^{\top}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & -3 \\ a & b & 3 \end{array}\right) \)
\( C=\left(\begin{array}{cc}1 \cdot 3 a+2 \cdot a+-3 \cdot 1 & a \cdot 3 a+b \cdot 0+3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 10+2 \cdot a+-3 \cdot 2 & a \cdot 10+b \cdot a+3 \cdot 2\end{array}\right) A 1 \)
II 1. Spalte
\( \begin{array}{c} 3 a-3 \\ 10+2 a-6 \\ 5 a+1 \end{array} \)

Also ist es in der Richtigen Reihen folge oder muss ich A1 A2 oben und B1B2 rechts?

Answer 1

Aloha :)

Du hast irgendwie das Prinzip der Matrix-Multiplikation noch nicht verstanden.

Du nimmst eine Spalte der rechten Matrix und legst sie als Zeile über die Vektoren der linken Matrix. Dann multiplizierst du die obere Zahl mit dem unteren Vektor:$$C=B^T\cdot A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3\\a & b & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}3a & 10\\0 & a\\1 & 2\end{array}\right)$$$$\phantom C=\left(\begin{array}{c}3a & 0 & 1\\\hline\\[-2ex]\binom{1}{a} & \binom{2}{b} & \binom{-3}{3}\end{array}\;\bigg|\;\begin{array}{c}10 & a & 2\\\hline\\[-2ex]\binom{1}{a} & \binom{2}{b} & \binom{-3}{3}\end{array}\right)$$$$\phantom C=\left(3a\cdot\binom{1}{a}+0\cdot\binom{2}{b}+1\cdot\binom{-3}{3}\quad\bigg|\quad 10\cdot\binom{1}{a}+a\cdot\binom{2}{b}+2\cdot\binom{-3}{3}\right)$$$$\phantom C=\left(\begin{array}{cc}3a-3 & 2a+4\\[1ex]3a^2+3 & 10a+ab+6\end{array}\right)$$

Comments

Du hast irgendwie das Prinzip der Matrix-Multiplikation noch nicht verstanden.

Hätte man sich die Rechnung einmal genauer angeschaut, hätte man auch gesehen, dass es nicht am grundlegenden Prinzip scheitert.

Die Darstellung finde ich übrigens mehr als ungeeignet und vor allem unübersichtlich. Ich empfehle da eher das Falksche Schema: https://de.wikipedia.org/wiki/Falksches_Schema

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@AM: Ich erwarte nicht, dass du den tieferen Sinn hinter meiner Darstellung verstehst ;)

Answer 2

Ganz falsch ist das, was du gemacht hast, nicht, da du da nur etwas vertauscht hast. Da dein \(B^T\) nämlich vor dem \(A\) steht, muss \(B_1\) und \(B_2\) an den Zeilen stehen und nicht an den Spalten, denn wir rechnen bei der Matrixmultiplikation immer "Zeile mal Spalte". Um dieses Problem zu umgehen, sollte man den Zwischenschritt \(B^T\cdot A\) einmal als Rechnung hinschreiben zusammen mit den Matrizen. Das fehlt bei dir ja. Dann kann man da problemlos von links nach rechts arbeiten.

Außerdem solltest du die einzelnen Einträge der Matrix \(C\) (es sind 4 Stück) noch zu sammenfassen. Aber zusammenrechnen, wie du es bei der 1. Spalte (\(5a+1\)) gemacht hast, musst du nicht. Die Einträge \(3a-3\) und \(10+2a-6=4+2a\) sind aber korrekt (nur nicht an richtiger Stelle in der Matrix).

Allgemein gilt für die Matrixmultiplikation \(C=\red{B^T}\cdot \green{A}\), dass im Eintrag \(c_{i,j}\) der Matrix \(C\) (das ist also Zeile i und Spalte j) das Skalarprodukt aus Zeile i von \(\red{B^T}\) und Spalte j von \(\green{A}\) steht (Zeile mal Spalte).