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Aufgabe:

Sei A ∈ M(n × n;R) symmetrisch. Zeigen Sie, dass genau dann jeder Eigenwert von A nichtnegativ ist, wenn für alle  x ∈ R^n gilt (Ax, xi) ≥ 0.

ich freue mich über schnelle Hilfe.

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Was wisst Ihr über die Diagonalisierbarkeit einer symmetrischen Matrix bzw. über die Existenz einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren?

@Mathhilf

Ich weiß, dass eine n × n-Matrix A diagonalisierbar ist, wenn es eine invertierbare Matrix
P gibt, so dass PAP^−1 = D eine Diagonalmatrix ist.
Außerdem der Zusammenhang zu den Eigenvektoren: Eine n × n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat.

Und: Hat eine symmetrische Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren? Wie steht es mit Orthogonalität?

@Mathhilf

Soweit ich weiß, impliziert Symmetrie auch Diagonalisierbarkeit. Dann existiert auch eine Orthonormalbasis bestehend aus den Eigenvektoren von A.

Was ist xi in diesem Zusammenhang? Einträge von Vektoren oder Standardbasisvektoren? Hängt mit x zusammen? Was ist ( , )? Standardskalarprodukt? Notation sollte man erklären.

@joners

Ja genau, mit ( , ) ist das Standardskalarprodukt gemeint. xi ist denke ich mal ein Eintrag.

Welcher Vektor soll xi sein? Ein Eintrag ist eine Zahl.

Es ist \(\langle Ax,x\rangle = x^TAx\). Ein \(x_i\) ergibt hier keinen Sinn. Das hier ist die Definition der positiven Semidefinitheit.

1 Antwort

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Bei dem xi handelt es sich wohl um einen Druckfehler. Ich gehe von

$$\forall x \in \R^n: \quad (Ax,x) \geq 0 \qquad (*)$$

1. Wenn (*) gilt und s ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v (ungleich 0 ) ist, also \(Av=sv\), dann gilt

$$0 \leq (Av,v)=(sv,v)=s(v,v) \Rightarrow 0 \leq s$$

weil \((v,v)>0\) ist.

2. Es sei \((v_1, \ldots v_n)\) ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von A mit \(Av_i=s_i v_i\), dann gilt für jedes \(x \in \R^n\):

$$x=\sum_{k=1}^n t_k v_k \text{  mit }t_k=(x,v_k) \text{  und }Ax=\sum_{j=1}^n t_j s_j  v_j$$

Wenn die Eigenwerte nichtnegativ sind, folgt (*):

$$(Ax,x)=(\sum_{j=1}^n t_j s_j v_j,\sum_{k=1}^n t_k v_k)=\sum_{k,j=1}^n s_jt_jt_k(v_j,v_k)=\sum_{k=1}^n s_kt_k^2 \geq 0$$

Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil die v_i ein Orthonormalsystem bilden.

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