Bei dem xi handelt es sich wohl um einen Druckfehler. Ich gehe von
$$\forall x \in \R^n: \quad (Ax,x) \geq 0 \qquad (*)$$
1. Wenn (*) gilt und s ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v (ungleich 0 ) ist, also \(Av=sv\), dann gilt
$$0 \leq (Av,v)=(sv,v)=s(v,v) \Rightarrow 0 \leq s$$
weil \((v,v)>0\) ist.
2. Es sei \((v_1, \ldots v_n)\) ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von A mit \(Av_i=s_i v_i\), dann gilt für jedes \(x \in \R^n\):
$$x=\sum_{k=1}^n t_k v_k \text{ mit }t_k=(x,v_k) \text{ und }Ax=\sum_{j=1}^n t_j s_j v_j$$
Wenn die Eigenwerte nichtnegativ sind, folgt (*):
$$(Ax,x)=(\sum_{j=1}^n t_j s_j v_j,\sum_{k=1}^n t_k v_k)=\sum_{k,j=1}^n s_jt_jt_k(v_j,v_k)=\sum_{k=1}^n s_kt_k^2 \geq 0$$
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil die v_i ein Orthonormalsystem bilden.