Zeigen Sie, dass genau dann jeder Eigenwert von A nichtnegativ ist, wenn für alle x ∈ R^n gilt (Ax, xi) ≥ 0.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M(n × n;R) symmetrisch. Zeigen Sie, dass genau dann jeder Eigenwert von A nichtnegativ ist, wenn für alle  x ∈ R^n gilt (Ax, xi) ≥ 0.

ich freue mich über schnelle Hilfe.

Comments

Was wisst Ihr über die Diagonalisierbarkeit einer symmetrischen Matrix bzw. über die Existenz einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren?

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@Mathhilf

Ich weiß, dass eine n × n-Matrix A diagonalisierbar ist, wenn es eine invertierbare Matrix
P gibt, so dass PAP^−1 = D eine Diagonalmatrix ist.
Außerdem der Zusammenhang zu den Eigenvektoren: Eine n × n-Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat.

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Und: Hat eine symmetrische Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren? Wie steht es mit Orthogonalität?

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@Mathhilf

Soweit ich weiß, impliziert Symmetrie auch Diagonalisierbarkeit. Dann existiert auch eine Orthonormalbasis bestehend aus den Eigenvektoren von A.

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Was ist xi in diesem Zusammenhang? Einträge von Vektoren oder Standardbasisvektoren? Hängt mit x zusammen? Was ist ( , )? Standardskalarprodukt? Notation sollte man erklären.

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@joners

Ja genau, mit ( , ) ist das Standardskalarprodukt gemeint. xi ist denke ich mal ein Eintrag.

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Welcher Vektor soll xi sein? Ein Eintrag ist eine Zahl.

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Es ist \(\langle Ax,x\rangle = x^TAx\). Ein \(x_i\) ergibt hier keinen Sinn. Das hier ist die Definition der positiven Semidefinitheit.

Answer 1

Bei dem xi handelt es sich wohl um einen Druckfehler. Ich gehe von

$$\forall x \in \R^n: \quad (Ax,x) \geq 0 \qquad (*)$$

1. Wenn (*) gilt und s ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v (ungleich 0 ) ist, also \(Av=sv\), dann gilt

$$0 \leq (Av,v)=(sv,v)=s(v,v) \Rightarrow 0 \leq s$$

weil \((v,v)>0\) ist.

2. Es sei \((v_1, \ldots v_n)\) ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von A mit \(Av_i=s_i v_i\), dann gilt für jedes \(x \in \R^n\):

$$x=\sum_{k=1}^n t_k v_k \text{  mit }t_k=(x,v_k) \text{  und }Ax=\sum_{j=1}^n t_j s_j  v_j$$

Wenn die Eigenwerte nichtnegativ sind, folgt (*):

$$(Ax,x)=(\sum_{j=1}^n t_j s_j v_j,\sum_{k=1}^n t_k v_k)=\sum_{k,j=1}^n s_jt_jt_k(v_j,v_k)=\sum_{k=1}^n s_kt_k^2 \geq 0$$

Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil die v_i ein Orthonormalsystem bilden.