Beweis: Quadratische Matrix, inventierbarkeit mit Einheitsmatrix

Question

Aufgabe:

Beweise für eine quadratische Matrix \( A \)  die inventierbarkeit ist (\(AA^{-1} = A^{-1}A = E\)

mit Einheitsmatrix \( E\) ), dass gilt:

(\(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\)

Problem:

Ich bin generell nicht so sicher wie man etwas beweisen soll, aber hier weiß ich nicht mal wie ich da anfangen soll, geschweige denn wie ich es mit der Einheitsmatrix beweisen soll.

Kann wer helfen?

Answer 1

Aloha :)

Gegeben seinen zwei Matrizen \(A\in\mathbb K^{l\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\).

Für die Transponierte der Produktmatrix \((AB)\in\mathbb K^{l\times n}\) gilt dann \((AB)^T\in\mathbb K^{n\times l}\).

Für \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,l\) lautet die jeweilige Komponente der Transponierten:$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Transponierten richtig ist, gilt:$$(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$$

Nun zeigen wir die eigentliche Behauptung für \(A\in GL_n(\mathbb K)\):
$$\left.A^{-1}A=\mathbf 1\quad\right|\;\text{transponieren}$$$$\left.(A^{-1}A)^T=\mathbf 1^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{Ergebnis von oben verwenden}$$$$\left.A^T(A^{-1})^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{von links \((A^T)^{-1}\) multiplizieren}$$$$\left.(A^T)^{-1}A^T(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\mathbf 1\quad\right|\;\text{vereinfachen durch \((A^T)^{-1}A^T=\mathbf1\)}$$$$\left.(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\quad\right.$$

Answer 2

Für \(A\) invertierbar gilt \(AA^{-1}=E\). Transponiere die Gleichung, dann gilt \((AA^{-1})^T=E^T\). Wende auf die linke Seite nun die Eigenschaften der transponierten Matrix an und schlussfolgere daraus, dass für die Inverse von \(A^T\) gilt:

\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\) bzw. \((A^{-1})^TA^T=E\).

Answer 3

Hallo.

Alternativ kann man auch die Camersche Regel nutzen. Sei A invertierbar, so existiert das Inverse und ist gegeben durch

A^(-1) = 1/det(A) adj(A)

wobei det(A) ≠ 0 die Determinante und adj(A) die Adjunkte von A ist.

Weiter gilt adj(A)^T = adj(A^T) (das folgt aus der Definition der Adjunkten) und det(A^T) = det(A). Damit kannst du dann insgesamt die Gleichheit folgern.