Mit Matrix* inverse Matrix zur Einheitsmatrix?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man mit:

Matrix* inverse Matrix zur Einheitsmatrix?

Quadratische Matrizen \( A=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right) \quad O=\left(\begin{array}{ccc}0 & \ldots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \ldots & 0\end{array}\right) \)
                                                     nxn-Matrix                                Nullmatrix

\( -\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}-\mathrm{a}_{11} & \ldots & -\mathrm{a}_{\mathrm{ln}} \\ \vdots & & \vdots \\ -\mathrm{a}_{\mathrm{nl}} & \ldots & -\mathrm{a}_{\mathrm{nn}}\end{array}\right) \)
additive Inverse \( -\mathrm{A} \)

\( E=\left(\begin{array}{ccc}1 & \ldots & 0 \\ \vdots & 1 & \vdots \\ 0 & \ldots & 1\end{array}\right) \)
Einheitsmatrix

$$ A \cdot A^{-1}=E $$
Matrix • inverse Matrix \( = \) Einheitsmatrix

\( A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass man mit:

Mateix+ additive Inverse zur = Nullmatrix kommt.

Aber wie kommt man mit:

Matrix* inverse Matrix zur Einheitsmatrix?

Answer 1

A·A^{-1} = E
[2, 3; 1, 1]·[a, b; c, d] = [1, 0; 0, 1]
[2·a + 3·c, 2·b + 3·d; a + c, b + d] = [1, 0; 0, 1]

Du erhältst zwei lineare Gleichungssysteme

2·a + 3·c = 1
a + c = 0 --> a = -1 ∧ c = 1

2·b + 3·d = 0
b + d = 1 → b = 3 ∧ d = -2

Answer 2

Die Zeile A·A^-1=E definiert zu jeder Matrix A eine Inverse A^-1.