Mehrere Möglichkeiten bei vollständiger Induktion?

Question

Aufgabe:

\( 5^{n}+7 \) ist durch 4 teilbar für \( n \geq 0 \)
Induktionsanfang: \( \mathrm{n}=0: 5^{0}+7=8 \) ist durch 4 ohne Rest teilbar.
Induktionsschluss:
\( \begin{aligned} 5^{n+1}+7 & =5 \cdot 5^{n}+7 \\ & =4 \cdot 5^{n}+5^{n}+7 \\ & =4 \cdot 5^{n}+\left(5^{n}+7\right) \end{aligned} \)
ist durch 4 teilbar, da der erste Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 4 ist und der zweite Summand durch 4 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung.

Ich habe den Induktionsschluss ein wenig anders gemacht. Ist das auch so richtig?

oder muss da das n im zweiten Summand unbedingt vorkommen?

\( \begin{aligned} Induktionsschluss: 5^{n+1}+7 & =5^{n} \cdot 5+7 \\ & =5^{n} \cdot 5+5 \cdot 7-4 \cdot 7 \\ & =5\left(5^{n}+7\right)-4 \cdot 7\end{aligned} \)

Comments

Ist richtig. Nach der Definition der Teilbarkeit teilt eine Zahl a ≠ 0 eine Zahl b wenn es eine ganze Zahl t gibt mit b = a*t.

In dem Fall für a = 4 & b = 4^5^n wählst Du für alle n: t := 5^n. Dann ist ja t eine natürliche Zahl für alle n und damit auch eine ganze Zahl. Der zweite Summand erfüllt es ja nach Induktionsannahme.

Nur eine Anmerkung: Am Anfang hast Du geschrieben ,,ohne Rest‘‘. Das brauchst Du nicht. Wenn es einen Rest gäbe, könntest Du gar nicht von Teilbarkeit sprechen.

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Kleine Korrektur: Da sollte b = 4 * 5^n, stehen.

Answer 1

Wichtige Merkregel: Es gibt in der Mathematik nicht DEN Lösungsweg, sondern immer EINEN Lösungsweg. Solange man sich an die Regeln und Gesetze der Mathematik hält, ist alles erlaubt, was zum Ziel führt. Andernfalls kann es Probleme geben (vgl. das Pferde-Paradoxon).

Es ist also grundsätzlich nicht vorgeschrieben, wie man zur Lösung kommt, solange deine Umformungen korrekt sind.

Comments

Ich habe den Induktionsschluss ein wenig anders gemacht. Ist das auch so richtig?

Ja, das ist also auch so richtig.

Und ich persönlich finde deine Lösung sogar schöner.