Komme bei vollständiger Induktion nicht weiter

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

ich komme bei dieser Aufgabe zur vollständigen Induktion einfach nicht weiter. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke und LG :)

Problem/Ansatz:

(ii) \( \forall n \in \mathbb{N}, \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k} k^{2}=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) \)

Wir zeigen per vollst. Induktion, dass für \( \forall n \in \mathbb{N} \) gilt: \( \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k} k^{2}=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) \)
1. Induktionsanfang: \( n=1 \)
\( \sum \limits_{k=1}^{k}(-1)^{k} k^{2}=(-1)^{1} \cdot(1)^{2}=-1=(-1)^{1} \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right)  \)
2. Induktionsvoraussetzung:
\( \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k} k^{2}=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) \) gelte für beliebiges, aber festes \( n \in \mathbb{N} \).
3. Induktionsbehauptung:
Zu zeigen: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{k} k^{2}=(-1)^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+2 \\ 2\end{array}\right) \)
4. Induktionsschritt:
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{k} k^{2} & =(-1)^{n+1}(n+1)^{2}+\sum \limits_{k=1}^{1}(-1)^{k} k^{2} \\ & \\ & =(-1)^{n+1}(n+1)^{2}+(-1)^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 2 \end{array}\right) \end{aligned} \)

Comments

Jetzt wirst Du wohl den Binomialkoeffizienten ausrechnen/ umformen müssen

Answer 1

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{k} k^{2} & =(-1)^{n+1}(n+1)^{2}+\sum \limits_{k=1}^{1}(-1)^{k} k^{2} \\ & \\ & =(-1)^{n+1}(n+1)^{2}+(-1)^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 2 \end{array}\right) \end{aligned} \)

\(=(-1)^{n+1} \cdot ( (n+1)^2 + (-1) \cdot\begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix} ) \)

\(=(-1)^{n+1} \cdot ( n^2 + 2n +1 -  \frac{(n+1)n}{2} ) \)

\(=(-1)^{n+1} \cdot ( \frac{2n^2 + 4n +2}{2}  - \frac{n^2 + n}{2} ) \)

\(=(-1)^{n+1} \cdot \frac{n^2 + 3n +2}{2}  \)

\(=(-1)^{n+1} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2}  \)

\( =(-1)^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+2 \\ 2\end{array}\right) \)