Beweis mittels vollständiger Induktion

Question

Hej und zwar hab ich eine Aufgabe die lautet...

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Fur alle ¨ n ∈ N, n > 2 gilt:

∑(oben: n-1, unten: k=1) k/2^(k+1) = 1-(1/2^n)-(n/2^n)

Ich hab nämlich n=2 gesetzt und bin auf (1/4)=(1/4)

Der Induktionsanfang ist gesichert und die Induktionsbehauptung sollte lauten:

∑(oben: n-1+1, unten: k=1) k/2^(k+1) = 1-(1/2^(n+1))-((n+1)/2^(n+1)) was man zu 1-((1-n+1)/(2^(n+1)) zusammenfassen könnte. 

Beim Induktionsschritt bin ich soweit gekommen, aber ab dort weiß ich leider nicht weiter:

=∑(oben: n-1, unten: k=1) k/2^(k+1)+((n+1)/(2^(n+1+1))

=1-(1/2^n)-(n/2^n)+((n+1)/2^(n+2))

=1-(n-1/2^n)+((n+1)/2^(n+2))

Was mich am meisten an der Aufgabe verwirrt ist das n-1 über dem Summenzeichen, da es ja am Anfang eigentlich keinen Einfluss auf die Rechnung hat.

Answer 1

Hallo

 deine Zusammenfassung ist falsch: richtig ist 1-((1+n+1)/(2^(n+1))

nächster Fehler: du schließ  von n nach n+1 also muss die summe bis n+1-1 also bis n gehen also

willst du zeigen 1-(1+n)/2ⁿ+n/2ⁿ⁺¹=1-((1+n+1)/(2⁽ⁿ⁺¹⁾) ich denke es ist ohne das in der Klammer zusammenzufassen einfacher., denk dran n/2^n=2n/2ⁿ⁺¹

Gruß lul

Comments

Hej, den ersten Fehler konnte ich gut nachvollziehen.

Bei dem zweiten Absatz komme ich bisschen durcheinander.

du schließ  von n nach n+1 also muss die summe bis n+1-1 also bis n gehen

bedeutet, dass das ich über dem Summenzeichen bei der Induktionsbehauptung einfach nur n hinschreiben kann, da ja n-1+1=n ist. Die +1 muss ich, aber in der Gleichung trotzdem zu den n's hinzufügen oder?

und was mir noch nicht ganz klar ist, ist wie du auf diese Gleichung gekommen bist:

1-(1+n)/2n+n/2n+1

Gruß Patrick

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Hallo

 ich habe zu der Summe bis n-1 die bekannt ist noch das letzte Glied für das k=n ist addiert um zur Summe bis n zu kommen.

Gruß lul