Beweis mittels vollständiger Induktion Potenz ein 2x2 Matrix

Question

Beweis mittels vollständiger Induktion. Wie der Anfang funktioniert ist mir klar. Bis zur Induktionsbehauptung bin ich gekommen. Danach ist mir leider nichts mehr eingefallen. Vielleicht kann mir mal jemand bei dem letzten Schritt auf die Sprünge helfen. 

Answer 1

n=1 OK.

n ⇒ n+1

also

wenn A die Matrix ist

Aⁿ⁺¹ = A * Aⁿ      (Induktionsvor)

       = A * 2^n-1 * A

= 2^n-1 *A * A

= 2^n-1 * ( 2   2  )
            ( 2   2 )

= 2^n-1 * 2 * A

= 2ⁿ * A    q.e.d.

Answer 2

Man muss auf der Basis der Induktionvoraussetzung (die Formel, die es zu beweisen gilt fur ein bestimmtes k, nämlich A^k = 2^k-1·A ) zeigen, dass A^k·A = 2^k · A oder A^k+1 = 2^k·A.  In die erste dieser beiden letztgenannten Formeln setzen wir die InduktionsVoraussetzung A^k = 2^k-1·A ein. Dann steht auf der linkenSeite der Gleichung 2^k-1·A·A: Das Produkt A·A ist eine 2x2-Matrix mit 4 Zweien, also 2·A. Dann ist 2^k-1·A·A = 2^k-1·2·A= 2^k·A.