n-te Ableitung beweisen mit vollständiger Induktion

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die \( n \) -te Ableitung von \( f \) ist gegeben durch
$$ f^{(n)}(x)=3 \cdot(-1)^{n} \frac{n !}{(x-1)^{n+1}}+(-1)^{n} \frac{n !}{(x+4)^{n+1}}, \quad n \in \mathbb{N} $$

Ich soll die Ableitung beweisen. Jetzt habe ich den Induktionsanfang gemacht, in meine Ableitung der eigentlichen Funktion 1 eingesetzt. Klappt auch alles wunderbar. In der Induktionsvoraussetzung steht das diese Ableitung für ein n ∈ ℕ gelte. So weit so gut.

Problem/Ansatz:

Im Induktionsschritt muss ich jedoch fⁿ⁺¹ (x) = (fⁿ  (x))´ zeigen. Ich bekomme es aber nicht gebacken die Funktion oben abzuleiten. Meine Gedanken dazu waren, ich muss ja nach x ableiten, also eigentlich nur 3 * (-1)ⁿ                                   

*n!* 1 / (x-1)ⁿ⁺¹  ableiten aber wie mache ich das?

Comments

Iast das die ganze Frage?

Answer 1

Ableitung nach x:

3 * (-1)ⁿ * (   (n! * (-n-1))/ (x-1)ⁿ⁺² )  +   (-1)ⁿ *  ( n!* (-n-1) / (x+4)ⁿ⁺² )

dann noch etwas umformen und Du erhältst fⁿ⁺¹ (x)

Beim Ableiten benutzt: 1 / (x-1)ⁿ⁺¹ = (x-1)^-n-1