Mit vollständiger Induktion die n-te Ableitung von f zeigen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x)=2/1-x². Zeige mit vollständiger Induktion, dass die n-te
(n∈ℕ) Ableitung von f von folgender Form ist:

f⁽ⁿ⁾(x)=n!(1/(1-x)ⁿ⁺¹+(-1)ⁿ1/(1+x)ⁿ⁺¹)

Problem/Ansatz:

:) Wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Die nullte Ableitung f⁽⁰⁾ ist ja die Ableitung selber..

Comments

f(x)=2/1-x^{2}

. In der Fragestellung fehlen Klammern. Welche genau?

Answer 1

Die nullte Ableitung f(0) ist ja die Ableitung selber..

naja: Die Funktion selber !

und für n=0 hast du also f(x) = 0!(1/(1-x)^1+(-1)^0 *1/(1+x)^1)

                                               = 1 * ( 1/(1-x) + 1/(1+x))

                                              =  ((1+x) + (1-x) ) / ( (1-x)*(1+x))

                                              = 2 / ( 1 -x^2 )   Passt also !

Wenn für n gilt: f^(n)(x)=n!(  1/(1-x)^(n+1)+(-1)^n * 1/(1+x)^(n+1)  )

             besser so:                       =n!( (1-x)^(-n-1)+(-1)^n * (1+x)^(-n-1)  )

dann hast du ja für die nächste Ableitung

           f^(n+1) (x) = n! * ( (-n-1)*(1-x)^(-n-2)*(-1)  + (-1)^n *(-n-1)* (1+x)^(-n-2)  )

         Die (-1) hinter dem ersten Summanden wegen der Kettenregel

dann   = n! * ( (n+1)*(1-x)^(-n-2)  + (-1)^(n+1) *(n+1)* (1+x)^(-n-2)  )

und dann (n+1) ausklammern

         = n! * (n+1)*   (  (1-x)^(-n-2)  + (-1)^(n+1)  (1+x)^(-n-2)  )

und die negativen Exponenten wieder mit 1 / …    umformen

        =(n+1)!(  1/(1-x)^(n+2)+(-1)^(n+1) * 1/(1+x)^(n+2)  )    Bingo !