Induktion für n-te Ableitung von f(x):= x^2 + ln(x-1)
Gegeben sei die Funktion: \( f : D _ { f } \rightarrow R \operatorname { mit } f ( x ) = x ^ { 2 } + \operatorname { ln } ( x - 1 ) \)
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die n-te Ableitung, n ≥ 3, von f gilt:
$$ f ^ { ( n ) } ( x ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! ( x - 1 ) ^ { - n } $$
Als induktionsanfang habe ich n=3 eingesetzt und 2(x-1)^3 erhalten
IB(n+1) eingesetzt: f^{n+1}(x)=(-1)^{n+1-1}((n+1)-1)!(x-1)^{-(n+1)}
und erhalte ausgerechnet f^{n+1}(x)=-1^n (n)!(x-1)^{-n+1}
Nun frage ich mich wie der Induktionsschluss aussehen soll?
Ich wäre dankbar für jede Antwort mit Erläuterung!
LG
