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Aufgabe:

Wie beweise ich die n-te Ableitung mittels vollständiger Induktion?

bzw das n0?

Das n0 müsste 3 sein.


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Text erkannt:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, ab welchem \( n_{0} \in \mathbb{N} \) die folgenden Aussagen gütig sind.
(i)
\( \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n_{0} \leq n \in \mathbb{N} \quad: \underbrace{\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(\left(x^{2}+1\right) \ln (2 x)\right)}_{n \text {-te Ableitung }}=(-1)^{n+1} \cdot 2\left(\frac{(n-3)!}{x^{n-2}}+\frac{(n-1)!}{2 \cdot x^{n}}\right) \)

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Wie viele Ableitungen von \((x^2+1)\ln(2x)\) hast du denn schon bestimmt?

Nur die ersten drei

Hier kannst du dir ein paar Ableitungen ansehen (spart Zeit):

https://www.ableitungsrechner.net/

Ja den habe ich auch benutzt. die 4. und 5. Ableitung passt auch. Aber wie beweise ich das jetzt mittels Vollständiger Induktion?

Wie beweise ich die n-te Ableitung mittels vollständiger Induktion?

Na wie schon? Leite die vorgegebene n-te Ableitung noch einmal ab und zeige durch elementare Umformungen, dass diese Ableitung gleich


\( (-1)^{(n+1)+1} \cdot 2\left(\frac{((n-1)-3)!}{x^{(n+1)-2}}+\frac{((n+1)-1)!}{2 \cdot x^{n+1}}\right) \)

also gleich


\( (-1)^{n+2} \cdot 2\left(\frac{(n-4)!}{x^{n-1}}+\frac{n!}{2 \cdot x^{n+1}}\right) \)

ist.

Na wie schon? Leite die vorgegebene n-te Ableitung noch einmal ab und zeige durch elementare Umformungen, dass diese Ableitung gleich

Gilt das auch als Induktion?

Das ist einer der zwei wesentlichen Schritte des Induktionsbeweises.

OK, verstehe. Es kam mir sehr knapp vor. Wenn es so ausreichend ist, warum nicht.

1 Antwort

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\(\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}}\left(\left(x^{2}+1\right) \ln (2 x)\right)\\=&\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\left((-1)^{n+1} \cdot 2\left(\frac{(n-3)!}{x^{n-2}}+\frac{(n-1)!}{2 \cdot x^{n}}\right)\right)\\=& (-1)^{n+1} \cdot 2\left((n-2)\cdot\frac{(n-3)!}{x^{n-1}}+n\cdot \frac{(n-1)!}{2 \cdot x^{n+1}}\right)\\=&\dots\end{aligned} \)

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