Wie beweise ich die n-te Ableitung mittels vollständiger Induktion?

Question

Aufgabe:

Wie beweise ich die n-te Ableitung mittels vollständiger Induktion?

bzw das n0?

Das n0 müsste 3 sein.

Text erkannt:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, ab welchem \( n_{0} \in \mathbb{N} \) die folgenden Aussagen gütig sind.
(i)
\( \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n_{0} \leq n \in \mathbb{N} \quad: \underbrace{\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(\left(x^{2}+1\right) \ln (2 x)\right)}_{n \text {-te Ableitung }}=(-1)^{n+1} \cdot 2\left(\frac{(n-3)!}{x^{n-2}}+\frac{(n-1)!}{2 \cdot x^{n}}\right) \)

Comments

Wie viele Ableitungen von \((x^2+1)\ln(2x)\) hast du denn schon bestimmt?

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Nur die ersten drei

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Hier kannst du dir ein paar Ableitungen ansehen (spart Zeit):

https://www.ableitungsrechner.net/

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Ja den habe ich auch benutzt. die 4. und 5. Ableitung passt auch. Aber wie beweise ich das jetzt mittels Vollständiger Induktion?

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Wie beweise ich die n-te Ableitung mittels vollständiger Induktion?

Na wie schon? Leite die vorgegebene n-te Ableitung noch einmal ab und zeige durch elementare Umformungen, dass diese Ableitung gleich

\( (-1)^{(n+1)+1} \cdot 2\left(\frac{((n-1)-3)!}{x^{(n+1)-2}}+\frac{((n+1)-1)!}{2 \cdot x^{n+1}}\right) \)

also gleich

\( (-1)^{n+2} \cdot 2\left(\frac{(n-4)!}{x^{n-1}}+\frac{n!}{2 \cdot x^{n+1}}\right) \)

ist.

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Na wie schon? Leite die vorgegebene n-te Ableitung noch einmal ab und zeige durch elementare Umformungen, dass diese Ableitung gleich

Gilt das auch als Induktion?

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Das ist einer der zwei wesentlichen Schritte des Induktionsbeweises.

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OK, verstehe. Es kam mir sehr knapp vor. Wenn es so ausreichend ist, warum nicht.

Answer 1

\(\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}}\left(\left(x^{2}+1\right) \ln (2 x)\right)\\=&\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\left((-1)^{n+1} \cdot 2\left(\frac{(n-3)!}{x^{n-2}}+\frac{(n-1)!}{2 \cdot x^{n}}\right)\right)\\=& (-1)^{n+1} \cdot 2\left((n-2)\cdot\frac{(n-3)!}{x^{n-1}}+n\cdot \frac{(n-1)!}{2 \cdot x^{n+1}}\right)\\=&\dots\end{aligned} \)