Vollständiger Induktion: Summenformel zeigen

Question

$$\text{Halli habe folgende Aufgabe und komme nicht weiter, freue mich sehr über eure Hilfe!!}\\ (a+b)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}\\ \text{IA}: n=0\\ (a+b)^0=1\\ \sum \limits_{k=0}^{0}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}=\frac{0!}{0!(0-0)!}a^0b^{0-0}=\frac{1}{1(1-)!}a^0b^{0-0}=\frac{1}{1*1}1*1=1\\ \text{Induktionanfang stimmt und Induktionsvoraussetzung ist soweit da}\\ \text{IV: }(a+b)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}\\ \text{mit dem Induktionsschritt (welch eine Überraschung) tue ich mich schwer ;) }\\ \text{IS: } n\rightarrow n+1\\ \sum \limits_{k=0}^{n+1}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}+\frac{(n+1)!}{(n+1)!((n+1)-(n+1))!}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}\\ \text{hier kann man ja die Induktionsvoraussetzung anwenden, dann sieht das ganze so aus:}\\ =(a+b)^n+\frac{(n+1)!}{(n+1)!((n+1)-(n+1))!}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}\\ \text{wenn ich dann alles rauskürze was geht dann lande ich im Nichts}\\ =(a+b)^n+\frac{(n+1)!}{(n+1)!*0!}a^{n+1}b^{0}\\ =(a+b)^n+\frac{(n+1)!}{(n+1)!*1}a^{n+1}*1=(a+b)^{n}+a^{n+1}\\ \text{wie gehts weiter? Haben sich hier Fehler versteckt?}\\ \text{}$$

Comments

Dein Ansatz zum IS ist bereits falsch.

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danke!

wie wäre es richtig?

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Ersetze jedes n in der IV durch n+1.

Answer 1

\(\sum \limits_{k=0}^{n+1}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}= \dots \)

Anstatt zu versuchen, \(\sum \limits_{k=0}^{n+1}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}\) umzuformen, solltest du vielleicht \((a+b)^{n+1}\) umformen:

\(\begin{aligned}& (a+b)^{n+1}\\=& (a+b)\cdot(a+b)^n\\=& (a+b)\cdot\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}\\=& \dots\end{aligned}\)