1. Induktionsanfang, \(j=0\):
$$\sum \limits_{k=0}^{0}(-1)^k\cdot\binom{n}{k}=(-1)^0\cdot\binom{n}{0}=1=(-1)^0\cdot\binom{n-1}{0}$$
\(\Rightarrow \) Für \( j=0\) ist die Gleichung erfüllt.
2. Induktionsschritt, aus der Gültigkeit der Gleichung für j folgt die Gültigkeit für j+1:
$$\sum \limits_{k=0}^{j+1}(-1)^k\cdot\binom{n}{k}=\underbrace{\left(\sum \limits_{k=0}^{j}(-1)^k\cdot\binom{n}{k}\right)}_{\text{Gültigkeit der Gleichung}}+(-1)^{j+1}\cdot\binom{n}{j+1}\\=(-1)^j\cdot\binom{n-1}{j}+(-1)^{j+1}\cdot\binom{n}{j+1}\\=(-1)^j\cdot(-1)^2\cdot\binom{n-1}{j}+(-1)^{j+1}\cdot\binom{n}{j+1}\\=(-1)^{j+1}\cdot\left(\binom{n}{j+1}-\binom{n-1}{j}\right)$$
Durch Ausschreiben und Umformen der Binomialkoeffizienten erhält man:
$$\binom{n}{j+1}-\binom{n-1}{j}=\frac{n!}{(j+1)!\cdot(n-j-1)!}-\frac{(n-1)!}{j!\cdot(n-1-j)!}\\=\frac{n!}{(j+1)!\cdot(n-j-1)!}-\frac{(j+1)\cdot(n-1)!}{\underbrace{(j+1)\cdot j!}_{=(j+1)!}\cdot(n-j-1)!}\\=\frac{n!-(j+1)\cdot(n-1)!}{(j+1)!\cdot(n-j-1)!}=\frac{n\cdot(n-1)!+(-j-1)\cdot(n-1)!}{(j+1)!\cdot(n-j-1)!}\\=\frac{(n-j-1)\cdot(n-1)!}{(j+1)!\cdot(n-j-1)!}=\frac{(n-1)!}{(j+1)!\cdot(n-j-2)!}\\=\frac{(n-1)!}{(j+1)!\cdot((n-1)-(j+1))!}=\binom{n-1}{j+1}$$
Setzt man dies nun beim Induktionsschritt ein, erhält man:
$$\sum \limits_{k=0}^{j+1}(-1)^k\cdot\binom{n}{k}=(-1)^{j+1}\cdot\binom{n-1}{j+1}\qquad\blacksquare$$
Es gilt nur für \(j \in \{0,\ldots,n-1\}\), da für \( j=n \) die untere Zahl des Binomialkoeffizienten größer wäre als die obere.
Nochmal kurz zusammengefasst: Zuerst den Induktionsanfang mit \( j=0\) machen, daraufhin den Induktionsschritt durchführen. Dabei als Erstes aus der Summe die bekannten Summanden ausschreiben und den Rest umformen. Das schwierigste ist bei dieser Aufgabe aber vermutlich der Teil mit den Binomialkoeffizienten.
Ich hoffe, das hat's jetzt bisschen verständlicher gemacht, wenn nicht, stehe ich bei weiteren Fragen gerne bereit! :)
