Mit Induktion zeigen, dass die folgende Gleichung für alle n gilt: Summenzeichen... = n(n+1)(4n-1)/6

Question

ich hab die folgende Lösung von der Uni (Mitschrieb von jemandem) aber da sind einige Unklarheiten, die habe ich markiert:

Wieso kommt man auf "-n²" bei "(n+1)² -n²" (2. und dritte Reihe)

Wieso, wenn man den Summanden (2n+1) vor die Summe zieht, multipliziert man es mit "n"?

Die sonstigen Umformungen und das Einsetzen der Induktionsvoraussetzung sind mir alle klar.

Pls help ich komm seit ner stunde nicht weiter.

Comments

Zu deinem ersten "wieso?": Das \(n^2\) steht schon in der Zeile darüber und ist entstanden durch Ausschreiben des \(i=n\)-ten Summanden der Summe aus der ersten Zeile.

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das war zu kompliziert wie meinst du ist da das -n² genau hingekommen? .... einmal für dummies pls :D denn ich verstehe du kennst dich damit sehr gut aus

Answer 1

Hi,

erste Frage

Es steht da

$$  \sum_{i=0}^n [(n+1)^2-i^2] = \sum_{i=0}^{n-1} [(n+1)^2-i^2] + (n+1)^2 - n^2 $$ weil ja die Summe nur bis \( n -1 \) läuft und der letzte Term der Summe auch berücksichtigt werden muss.

zweite Frage

$$  \sum_{i=0}^{n-1} (n^2 + 2n + 1 -i^2) = \sum_{i=0}^{n-1}(n^2 - i^2) + \sum_{i=0}^{n-1} (2n+1) $$ Die letzte Summe hängt nicht von \( i \) ab, d.h. es wird der Ausdruck \( 2n+1\) n-mal summiert, also bekommt man \( n(2n+1) \)

Comments

also erstmal danke und das zweite hab ich mittlerweile verstanden... aber ist es immer n(...) oder kann es je nach was über dem Summenzeichen steht variieren? oder ist es einfach immer mit n zu multiplizieren, weil ja immer n mal aufsummiert wird?
Und zum ersten... das ist also das letzte glied d.h. man nimmt das erste glied + das letzte und schreibts auf...
aber das verstehe ich ja aber jetzt nur auf "-n²" am Ende bezogen... wieso hier nicht auch n+1 sondern nur n und davor trotzdem n+1? ist es weil man, wenn man für i n setzt dann einfach nicht n+1 für i schreiben kann sondern nur n schreibt?
d.h. würde man wenn es statt $$ (n+1)^2 - i^2) $$ am Anfang $$ (n+1)^2 - n^2) $$ sein würde, dort statt $$ -n^2 $$ dann (n+1)² setzten?

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Hi,

zu (1)

Wenn Du eine Summe wie folgt hast

$$  \sum_{k=k_0}^{k_1} a $$ Dann wird der Ausdruck \( a \) genau \( k_1-k_0 +1 \) mal aufsummkiert und das Ergebnis ist \( (k_1-k_0+1)a\)

Zu (2)
$$  \sum_{i=0}^n [(n+1)^2-i^2] = \sum_{i=0}^{n-1} [(n+1)^2-i^2] + (n+1)^2 - n^2 $$
Der letzte Term entsteht, weil Du ja in den Ausdruck \( [(n+1)^2-i^2] \) für \( i \) den Wert \( n \) einsetzten musst. Der Ausdruck \( (n+1)^2 \) bleibt wie er ist weil er nicht von \( i \) abhängt.

Answer 2

In der ersten Zeile soll die Summe von I=0, i=1, ... ,i=n-1, i=n laufen, also von 0 bis n.

In der zweiten Zeile soll die Summe von I=0, i=1, ... ,i=n-1 laufen und dann wird das fehlende Glied i=n extra hingeschrieben, macht: (n+1)² - n²

In der dritten Zeile soll die Summe von I=0, i=1, ... ,i=n-1  laufen, das sind n Schritte. Bei jedem Schritt steht in der Summe

2n+1. Also wird es n-mal addiert.

Comments

Ob der Fragesteller das nach fast 3 Jahren noch liest? ;-)

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.hab das Datum nicht gesehen  :)