Beweis durch vollständige Induktion (Induktionsschluss)

Question

Aufgabe:

Zeigen sie dass für alle n ∈ ℕ, n≥2 gilt:

S(n) = \(\sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\frac{k+1}{k!}\right)\) = \( \frac{(-1)^n}{n!} \)-1

(i) IA.: für S(2) kommt auf beiden Seiten -1/2 raus

(ii) IS.: Induktionsannahme für ein beliebig festes n

zu zeigen: \(\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k \left(\frac{k+1}{k!}\right)\) = \( \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} \)-1

Problem/Ansatz:

Berechne: \(\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k \left(\frac{k+1}{k!}\right)\) = \(\sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\frac{k+1}{k!}\right)\) + (-1)ⁿ⁺¹ * \( \frac{(n+1)+1}{(n+1)!} \)

wegen Annahme= \( \frac{(-1)^n}{n!} \)-1 + (-1)ⁿ⁺¹ * \( \frac{(n+1)+1}{(n+1)!} \)

hat jemand ein tipp wie ich hier weiter vorgehen kann?

Comments

Tipp: (-1)^(n+1) ausklammern. 2 Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen. -1 stehen lassen

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Muss Induktion benutzt werden?

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ich versuchs mal danke

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ja laut aufgabenstellung muss induktion verwendet werden

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ich kriege das nicht richtig ausgeklammert. was passiert auf der linken seite mit der -1
ich kam auf folgendes:

(-1)ⁿ⁺¹(-\( \frac{1}{n!} \)-1+\( \frac{n+2}{(n+1)!} \)) aber die -1 passt da iwie nicht rein, denn wenn ich jetzt ausmultipliziere dann haut das nicht mehr mit der ausgangsgleichung hin

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An / Mit der -1 wird nichts gemacht. Die kommt doch schon so wie sie ist im Ziel-Term vor. Es werden nur die beiden Brüche verarbeitet.

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hab ichs richtig verstanden:

(-1)ⁿ⁺¹(-\( \frac{1}{n!} \)+\( \frac{n+2}{(n+1)!} \))-1

da (n+1)! = n!(n+1) muss der linke bruch mit (n+1) erweitert werden

dann hätte ich :

\( \frac{-n-1+n+2}{(n+1)!} \)=\( \frac{1}{(n+1)!} \) wenn ich jetzt mit (-1)ⁿ⁺¹ multipliziere hätte ich:

\( \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} \)-1.

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Ja, damit bist Du am Ziel

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ok danke dir

Answer 1

Wurde schon gelöst, aber noch ein Tipp zur solchen Aufgaben:

Vergleiche das, was du nach Anwendung der IV heraus hast mit der IB, was herauskommen soll. Man möchte zu einem Bruch kommen, wo im Nenner \((n+1)!\) steht. Bei dem einen Bruch ist das bereits gegeben, beim anderen nicht. Also erweitert man so, dass man schonmal zu diesem Nenner kommt und die Brüche zusammenfassen kann.

Ausklammern ist ein häufiges Mittel, um Ausdrücke zu vereinfachen. Danach kann man eigentlich auch immer schauen.

Die \(-1\), die hier vorkommt, ist nach IV und IB schon vorhanden. Die kann man also schonmal "beiseite" schieben.

Derartige Termumformungen erfordern immer etwas Übung und Erfahrung. Daher immer schön am Ball bleiben und immer mal Umformungen ausprobieren. Man weiß ja eigentlich, wo man hinmöchte. :)

Comments

ja danke für deine tipps, die werd ich mir merken. hab oft das problem, dass ich nicht weiß was ich tun soll oder wie es jetzt weiter geht. solche tipps helfen mir richtig gut dabei

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Probiere Dinge aus. Dabei lernt man ungemein viel, weil man dadurch ein Gefühl bekommt, was funktioniert und was nicht.