Vollständige Induktion, Hilfe bei dem Induktionsschluss

Question

Text erkannt:

\( 5^{3}+7^{3}+\cdots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right)-28 \) für alle \( n \in I N, n \geq 3 \).

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Problem mit dieser Vollständigen Induktion. Ich stecke bei dem Induktionsschluss fest und komme nicht weiter. Ist mein Ansatz so richtig? Wie würde der gesamte Schluss aussehen? Könnte mir da jemand bitte weiterhelfen.

Answer 1

Wir durften damals in der Uni tatsächlich beide Seiten ausmultiplizieren und so zeigen, dass die Terme wertgleich sind.

n^2·(2·n^2 - 1) - 28 + (2·(n + 1) - 1)^3 = (n + 1)^2·(2·(n + 1)^2 - 1) - 28

2·n^4 - 1·n^2 - 28 + (2·n + 2 - 1)^3 = (n^2 + 2·n + 1)·(2·(n^2 + 2·n + 1) - 1) - 28

2·n^4 - 1·n^2 - 28 + 8·n^3 + 12·n^2 + 6·n + 1 = (n^2 + 2·n + 1)·(2·n^2 + 4·n + 2 - 1) - 28

2·n^4 + 8·n^3 + 11·n^2 + 6·n - 27 = 2·n^4 + 8·n^3 + 11·n^2 + 6·n + 1 - 28

2·n^4 + 8·n^3 + 11·n^2 + 6·n - 27 = 2·n^4 + 8·n^3 + 11·n^2 + 6·n - 27

Comments

Vielen Dank. Wäre diese Lösung im Ernstfall immer möglich? Rein theoretisch könnte ich bei jeder Aufgabe beide Seiten so weit es geht ausmultiplizieren.

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Theoretisch kannst du ja auch ausmultiplizieren und dann wieder umgekehrt faktorisieren.

Letztendlich kannst du auch diese Methode formal richtig notieren. Das spart dann zumindest vorher einen blöden Faktorisierungskniff zu finden.