Aloha :)
1) Stein wird fallengelsassen
Der Stein wird aus der Höhe \(H=100\,\mathrm m\) fallengelassen.
Die Fallzeit \(T\) folgt aus dem Weg-Zeit-Gesetz mit der Erdbeschleunigung \(g\approx9,81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\):$$H=\frac12gT^2\implies T=\sqrt{\frac{2H}{g}}\approx4,52\,\mathrm s$$
2) Stein wird vertikal abgeworfen
Nun wird der Stein mit einer noch unbekannten Geschwindigkeit \(v_0\) abgeworfen. Die Fallzeit soll sich dadurch gegenüber dem freien Fall halbieren. In der Hälfte der Zeit, legt der Stein auf Grund der Gravitation aber nur ein Viertel des Weges zurück, denn:$$\frac12\cdot g\cdot\left(\frac T2\right)^2=\frac18gT^2=\frac14\cdot\frac12gT^2\;\stackrel{\text{Teil 1}}{=}\frac14H$$
Die restlichen drei Viertel des Wegen \(\frac34H\), muss der Stein auf Grund der konstanten Abwurfgeschwindigkeit \(v_0\) in der halben Zeit \(\frac T2\) zurücklegen:$$v_0\cdot\frac T2=\frac34H\implies v_0=\frac{3H}{2T}\approx33,2\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$Das hört sich wenig an, sind aber umgerechnet fast \(120\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\).
