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Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{2}{3} x^{3}-\frac{8}{3} x \).

a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen von für \( -2,5 \leq x \leq 2,5 \).
b) Zeigen Sie, dass die Tangenten in den äußeren beiden Nullstellen parallel verlaufen.
c) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente? Wie groß ist ihr Steigungswinkel?

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Skizze zu c)

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3 Antworten

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f(x) ist punktsymmetrisch. Daher befinden sich die Nullstellen auch symmetrisch bezüglich der y-Achse.

f'(x) ist achsensymmetrisch und dabei ist die Steigung in den Symmetrischen Nullstellen auch gleich.

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Die äußeren beiden Nullstellen sind -2 und 2.

Tangentensteigung dort ist f ' (-2) bzw. f ' (2).

Mit f ' (x) = 2x^2 - 8/3 ergibt sich in beiden Fällen m=16/3.

Also sind die Tangenten dort parallel.

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f(x) = 0

2/3*x(x^2-4) = 0

x1= 0

x^2-4= 0

x= +-2

Tangenten:

t1(x) = (x-2)*f '(2) + f(2)

f '(x) = 2x^2-8/3

f '(2)= 8- 8/3 = 24/3 -8/3 = 16/3

f(2)= 0

t(x) = (x-2)*16/3 +0 = 16/3*x- 32/3


t2(x) = (x+2)*f '(-2) + f(-2)  = (x+2)*(16/3)+0 = 16/3*x +32/3

m(T1) = m(T2) = 16/3

Gleich Steigung bedeutet, dass die Tangenten parallel sind.

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