Welche Geraden verlaufen parallel zu E und welchen Winkel schließen die beiden Geraden ein?

Question

ich frage hier um Hilfe für die Aufgaben.

geg.: Eine Geradenschar g_a = ( 1\0\3 ) +t(  a²\-a\2 ), a ∈ R die Ebene x+2y-4z=4, und die Punkte A(8/9/-1), P(6/4/3) und Q(4/-a/7)

1. Welche Geraden verlaufen parallel zu E und welchen Winkel schließen die beiden Geraden ein?

2. Welchen Abstand haben die beiden Geraden von der Ebene E?

3. Verläuft eine Gerade der Schar orthogonal zu E?

Ich habe keine Idee wie ich voran kommen könnte.

Answer 1

Welche Geraden verlaufen parallel zu E

diejenigen Geraden, deren Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene stehen.

2. Welchen Abstand haben die beiden Geraden von der Ebene E?

Den gleichen Abstand, den ein beliebiger Punkt dieser Geraden zu E hat. Da offensichtlich alle Geraden der Schar (ob parallel zu E oder nicht) den Punkt (1|0|3) enthalten, brauchst du nur den Abstand dieses Punktes zu E berechnen.

3. Verläuft eine Gerade der Schar orthogonal zu E?

Das wäre möglich, wenn es in der Schar eine Gerade gibt, deren Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist.

Fazit: Bestimme unbedingt zuerst den Normalenvektor der Ebene. (Er lässt sich aus x+2y-4z=4 unmittelbar ablesen.)