Aloha :)
zu 4) Die co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck zum complementären Winkel (das ist der andere nicht-rechte Winkel) übergeht. Daher gilt per Definition:$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$$$$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$$$\tan(90^\circ-\alpha)=\cot(\alpha)$$$$\cot(90^\circ-\alpha)=\tan(\alpha)$$
Damit kannst du den Term wie folgt vereinachen:$$\tan(\alpha)\cdot\tan(90-\alpha)=\tan\alpha\cdot\cot\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1$$
zu 5) Verwende \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) und \(\sin^2x+\cos^2x=1\):
$$\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\cos^2\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos^2\alpha}{1}=\sin^2\alpha$$
$$\sin\alpha+\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha}=\sin\alpha+\frac{\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}$$
