Verallgemeinerung der Regel, dass es für Polygone ungerader Seitenzahl keine Lösungen gibt

Question

Aufgabe:

Man beweise: Für magische Polygone mit ungerader Seitenzahl gibt es keine Lösungen.

Problem/Ansatz:

Magische Polygone kennzeichnen sich dadurch, dass die Zahlen von 1 bis 2n+1 verwendet werden. Dabei gibt es eine Mittelzahl und eine magische Summe. Das heißt, dass alle Diagonalsummen und Seitensummen gleich groß sein müssen. Hier einmal Beispiele von Polygonen, bei denen dies funktioniert.

Text erkannt:

von 1 bis 9

Beim Dreieck funktioniert es Beispielsweise nicht. Dort müssten die Zahlen von 1-7 eingesetzt werden und dei 4 steht in der Mitte. Die magische Zahl ist hier die 12. Da die 7 aufgrund der Struktur aber immer mit der 6 verbunden ist, ergibt dies schon mehr als 12. Allerdings fällt mir bezüglich des Fünfecks keine Lösung ein und auch keine Verallgemeinerung dazu.

Answer 1

Deine Beschreibung eines magischen Polygons solltest du besser bei WICKIPEDIA abschreiben:

Ein magisches Polygon ist ein regelmäßiges n-Eck (n∈ℕ), dessen Ecken, Seitenmitten und Mittelpunkt so mit den natürlichen Zahlen von 1 bis 2n+1 belegt sind, dass die Summe der so belegten Zahlen auf jeder Seite und jeder Diagonalen gleich einer konstanten Zahl m ist, die auch als magische Summe bezeichnet wird.

Die Lösung, die du für das Fünfeck suchst, soll ja zeigen, dass es kein magisches Fünfeck geben kann. Dazu zwei Tipps aus WICKIPEDIA:

1. Im Mittelpunkt muss immer n+1 stehen

2. Die magische Summe muss immer 3n+3  sein.

Comments

Erstmal vielen Dank für die Antwort. Ja genau, das war jetzt auch hier mir schnell geschrieben. Wir haben eine allgemeine Definition. Für das Fünfeck habe ich es eventuell unverständlich geschrieben. Ich suche eine Lösung, warum es ebend für das Fünfeck nicht funktioniert, so wie es auch die Aufgabe fragt. Beim Dreieck weiß ich warum es nicht geht. Ich komme mir darüber auf keine Verallgemeinerung.

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Es ist eine gute Idee von dir, zuerst herauszufinden, warum es für n=5 kein magisches Polygon gibt. Nutze die beiden Tipps aus WICKIPEDIA:
1. Im Mittelpunkt muss immer n+1 stehen
2. Die magische Summe muss immer 3n+3  sein.

Versuche dann erst zu verallgemeinern.

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Ja genau die beiden Informationen haben wir auch schon hergeleitet. Dennoch finden wir keine Lösung oder Verallgemeinerung.