Gibt es regelmäßige n-Ecke, bei denen alle Ecken auf Koordinatenpunkten liegen?

Question

ich habe eine Frage (warum wäre ich sonst hier ;) ):

Gibt es im Koordinatensystem regelmäßige n-Ecke, bei denen alle Punkte auf ganzzahligen Gitterpunkten liegen?

Für n=4 geht das ja offenbar - aber sonst?

 

Ich hab im Internet schon etwas gesucht - hab auch in paar Sachen gefunden, hab aber nie wirklich verstanden, was jetzt die Antwort ist.

Könnt ihr mir helfen?

Danke, Karo

 

Eine Skizze:

Answer 1

Ich habe mir so ein paar angeschaut... Ich komme zum Schluss, dass, wenn man nur ein kleines Koordinatensystem hat, nur das Viereck Platz findet. Hat man jedoch eine riesige Zeichnung (und ein sehr eng beschriftetes Koordinatensystem), so könnte es möglich sein, andere Polygone unterzubringen, da man kleinere Unterteilungen hat und so näher hinkommt.... Also wenn du eine Figur hast (z.B. ein Achteck), so kannst du ein Koordinatensystem bis Hundert machen und es darauf versuchen! So solltest du eigentlich alle irgenwie drauf bringen, auch wenn du das Koordinatensystem vergrössern musst....

Ich hoffe, ich habe geholfen!

Comments

Die Größe des Koordinatensystems ist ja "unendlich"... ich glaube irgendwie trotzdem, dass es nicht geht - zumindest hab ich das in der meisten Literatur so verstanden (wenn ichs verstanden hab ;) ).

Bei einem Dreieck geht es doch irgendwie nicht, da das Verhältnis Höhe zu Grundseite irrational ist, oder?

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Stimmt, aber es kommt mir trotzdem komisch vor...

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Ach ja, könnte mir doch vorstellen, dass bei den ungeraden Polygonen dies nicht möchglich ist.

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http://jones.math.unibas.ch/~walser/institut/vorlesungen/11fs/SLA/Vorlesung/206_V_Regelm_Vielecke.pdf

Da hab ich was gefunden - auf Seite 2.

Hilft das weiter?

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Auf jeden Fall muss tan(2pi/n) rational sein, wahrscheinlich geht das nur für n=4... Der link funktioniert irgendwie nicht, aber ich wäre auch an einer Antwort interessiert;)

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http://www.mi.uni-koeln.de/~geiges/Vorlesungen/VorlesungWS11-12/mph1-06.pdf

Answer 2

Bei einem regelmäßigen Quadratgitter in der euklidischen Ebene geht dies nur für das Quadrat und das "Zweieck", das aber im Allgemeinen gar nicht als "echtes" Vieleck betrachtet wird.

Allerdings wäre noch etwa anzumerken, dass es in einem dreidimensionalen Gitter mit kubischen Zellen durchaus gleichseitige Gitterpunktdreiecke (und auch -Sechsecke) gibt ! In einem fünfdimensionalen euklidischen Gitter gibt es auch regelmäßige Gitterpunkt-Fünfecke, in einem 13-dimensionalen gibt es regelmäßige Gitterpunkt-13-Ecke .

Das Ganze ist also dimensionsabhängig.