Aufgabe 1:
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem
\( \boldsymbol{u}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ -8 & -3 \end{array}\right) \boldsymbol{u}(t)+\left(\begin{array}{l} 20 \\ 20 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie eine reelle Fundamentalmatrix des zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystems.
b) Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems und geben Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung an.
Aufgabe 2)
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem
\( \boldsymbol{u}^{\prime}(t)=\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{u}(t)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \cdot \boldsymbol{u}(t) . \)
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems.
b) Bestimmen Sie die Lösung \( \boldsymbol{u}(t) \) der zugehörigen Anfangswertaufgabe mit
\( \boldsymbol{u}(0)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right) \)
und berechnen Sie für diese Lösung \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} \boldsymbol{u}(t) \).
c) Konvergiert die Lösung des Systems aus Teil a) bei beliebigen Anfangsbedingungen für \( t \rightarrow \infty \) gegen Null? Bitte begründen Sie Ihre Antwort.
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Bei den beiden Aufgaben komme ich nicht weiter
