Liege ich mit meiner Vermutung in Bezug auf diese Folgen so richtig?

Question

Ich rechne gerade ein paar Folgen durch und mir ist da etwas nicht ganz klar bzw. wäre nett, wenn jemand meine Vermutung bestätigen könnte.

Ich vermute, dass Bild 1 und Bild 2 (man beachte hier das minus unendlich) dasselbe sind.

Bild 1:

Bild 2:

Ich hatte folgende 2 Aufgaben:

a) $$ \lim\limits_{x\to\infty} \frac{1-x^2}{x+1} $$

b) $$ \lim\limits_{x\to-\infty} \frac{1-x^2}{x+1} $$

Dann kam ich auf folgendes:

a) Rechenregeln von Bild 1 angewandt (das ich nicht eigenständig geändert habe, daher auch keine gelbe Markierung):

$$ \frac{-1}{1} * \infty = -1 * \infty = -\infty $$

b) Rechenregeln von Bild 2 angewandt (gelbe Markierung habe ich selbst geändert):

$$ \frac{-1}{1} * -\infty = -1 * -\infty = \infty $$

Liege ich mit meiner Vermutung so richtig? Weil anders würde ich es mir nicht erklären können und zeitgleich auf die richtige Lösung bei b) kommen.

Comments

Was denn jetzt?

Einer sagt mir, dass das richtig ist und der andere falsch.

Kann ich so wie oben für Teilaufgabe b) vorgehen oder nicht?

Answer 1

Deine gelb markierte Änderung ist so nicht richtig.

Bedenke, dass für n gegen minus unendlich es sehr darauf ankommt,

ob der Grad des Polynoms gerade oder ungerade ist.

Answer 2

Ja, alles richtig.

Es geht auch so:

a) 1-x^2 = (1+x)(1-x)

kürzen:

lim (1-x) = -oo für x -> oo

b) lim = oo für x -> -oo

Answer 3

Einer sagt mir, dass das richtig ist und der andere falsch.

Nein. Der eine sagt, dass deine gelbe Änderung im Allgemeinen falsch ist. Ersetze \( x^2 \) mal durch \( x^3 \), führe deine Rechnung durch und prüfe durch Zeichnen des Graphen.

Der andere sagt, dass deine Rechnung stimmt. Das tut sie auch. Aber es gilt eben nicht immer.

Comments

Ok, sorry. Habe ich wohl falsch gelesen.

Wie müsste ich denn an diese Aufgabe rangehen, wenn a) und b) gleich wären, nur mit dem Unterschied, dass da eine ^3 steht?

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Da Zählergrad größer Nennergrad, geht das auf jedenfall nach \( -\infty \) oder \(+ \infty \).

Betrachte also Zähler und Nenner getrennt und schaue dann welche Vorzeichen du hast. Bspw. gelten \( \lim_{x \rightarrow \infty} 1-x^3 = - \infty \) und \( \lim_{x \rightarrow - \infty} 1-x^3 = +\infty \)