Quadratische Ergänzung bei biquadratischen Funktionen

Question

Aufgabe:

Es sollen die Nullstellen der biquadratischen Gleichung $$f(x)=x^4-7x^2+12=0$$ bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Ich frage mich, ob man hier nich einfach eine quadratische Ergänzung machen kann, nur eben mit x^2. Ich meine Folgendes:

$$x^4-7x^2+12=0$$

$$\Leftrightarrow x^4-2\cdot 3,5x^2+3,5^2-3,5^2+12=0$$

$$\Leftrightarrow (x^2-3,5)^2-12,25+12=0$$

$$\Leftrightarrow (x^2-3,5)^2=0,25|\sqrt{} $$

$$\Leftrightarrow |x^2-3,5|=0,5$$

Auflösen des Betrages liefert dann:

$$x^2-3,5=0,5 \Leftrightarrow x^2=4$$

und damit $$x_1=2 \wedge x_2=-2$$

sowie

$$-x^2+3,5=0,5 \Leftrightarrow x^2=3$$

und damit $$x_3=\sqrt{3} \wedge x_4=-\sqrt{3}$$

Das sind die Lösungen, die auch die Substitution liefert. Habe ich etwas übersehen und es ist nur durch Zufall (oder zwei Fehler, die sich gegenseitig aufheben) richtig? Oder ist das einfach nur genau das Prinzip des Substitutionsverfahrens und es wird nur anders verpackt, damit man die olle pq-Formel "direkt" anwenden kann?

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank!

Mit freundlochen Grüßen

Jan

Answer 1

Das hast Du alles völlig richtig erkannt. Du hast die Substitution nicht gebraucht bzw. nur indirekt, indem Du im ersten Teil (der quadr. Erg.) \(x^2\) als Einheit betrachtet hast. Das schaffen nur die wenigsten. Viele substituieren lieber, machen dann qE, oder pq-Formel, kommt aber ganz am Ende alles auf's Gleiche raus. Und nicht zufällig, sondern das ist immer so.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Jetzt ergibt das alles noch etwas mehr Sinn für mich!

Answer 2

Es geht hier auch und schneller/am schnellsten?? mit Vieta:

x^4-7x^2+12= 0

(x^2-4)(x^2-3) = 0

x^2=4

x= +-2

x^2= 3

x= +-√3

Bei diesen Zahlen drängt sich mir Vieta gerade zu auf, der aber in Vergessenheit zu geraten scheint und fast alles über die pq-Formel gemacht wird. Auch die Mitternachtsformel trifft man nur selten an.

Wird Vieta überhaupt noch gelehrt?