Wieso wendet man bei der Rücktransformation den Dämpfungssatz an? (Laplace, quadratische Ergänzung)

Question

Wieso wendet man bei der Rücktransformation den Dämpfungssatz an?

\( \frac{1}{s^{2}+2 s+5} \)

Quadratische Ergänzung (s+1)+4

Answer 1

Hi,
die Laplacetransformierte von $$ sin(\beta t) $$ ist $$ \frac{\beta}{s^2+\beta^2} $$
Mit dem Dämpfungssatz folgt,
$$ \mathcal {L \left\{ e^{-\alpha t} sin(\beta t) \right\} } = \frac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2} $$
Mit  \( \alpha = 1 \) und \( \beta = 2 \) folgt
$$ \mathcal {L \left\{ e^{-t} sin(2t) \right\} } = \frac{2}{(s+1)^2+4} $$ Also ist
$$ \mathcal {L \left\{ \frac{1}{2} e^{-t} sin(2t) \right\} } = \frac{1}{(s+1)^2+4} = \frac{1}{s^2+2s+5} $$