Zeige Sie, dass durch =Spur(A^T*B) ein Skalarprodukt definiert wird.

Question

Aufgabe:

Zeige Sie, dass durch <A, B>=Spur(A^T *B) ein Skalarprodukt definiert wird. A, B seien dabei 2x2 reelle Matrizen

Problem/Ansatz:

Wie macht man das am besten? Ich weiß welche Kriterien ich prüfen muss, komme aber nicht auf die richtige Umformung. Man muss ja einerseits Symmetrie, positive definit und bilinearform zeigen. Aber wie setzt man da an? Muss man matrix mit summenzeichen schreiben? Das habe ich nicht verstanden.

Außerdem : zeigen Sie, dass Spur (AB) kein Skalarprodukt ist, kann man einfach A=

0	1
0	0

nehmen, oder, um positive definit zu widerlegen?

Answer 1

Man braucht keinen besonderen Ansatz. Das ist stupides Rechnen. Nutze halt die Definition der Spur sowie die Definition der Matrixmultiplikation. Was hast du an der Summe nicht verstanden?

Beim zweiten Teil reicht ein Gegenbeispiel, ja.

Comments

Passt mein Gegenbeispiel?

Mein Problem ist, dass ich das nicht checke mit den summenzeichen. Kennst Du da ne gute Seite die das erklärt? Manchmal sind da zwei oder drei summenzeichen hintereinander für matrix Darstellung und da bin ich komplett raus.

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Da Gegenbeispiel passt.

Beachte, dass das Summenzeichen nur eine abkürzende Schreibweise ist. Es kann helfen, das mal auszuschreiben.

Andererseits sind hier nur 2x2 Matrizen verlangt. Da kommt man auch gut ohne Summenzeichen aus. Berechne die Diagonalelemente einfach direkt.