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Aufgabe: Die Spur einer Matrix A=(aij) i,j=1,...,n  ∈ Mnxn (ℝ) ist definiert als tr(A):= ∑ aii (i=1,...,n)

(1) Zeige, dass durch ⟨A,B⟩ := tr(BT A) ein Skalarprodukt auf Mnxn (ℝ) definiert ist.

(2) Bestimme eine Orthonormalbasis von Mnxn (ℝ) bezüglich dieses Skalarproduktes.


Problem/Ansatz: Wie kann man dies am besten lösen?


Vielen Dank!

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1 Antwort

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Für 1) musst du nur die Axiome für ein Skalarprodukt überprüfen:

Bilinearität, Symmetrie , pos. Definitheit

z.B. Symmetrie ginge so:  Seien A,B aus Mnxn(ℝ)

zu zeigen:   <A,B> = <B,A>  Def. anwenden gibt

      tr(B^T* A)   =   tr(A^T* B)     #

Für die Spur brauchst du ja nur die Elemente auf der

Hauptdiagonale und die stimmen für B^T* A und

A^T* B überein, also gilt # für alle Matrizen.

u.s.w.

Avatar von 289 k 🚀

Danke, das hilft mir sehr.


Und wie finde ich für 2. eine Orthonormalbasis, bzw. überhaupt erstmal eine Basis zu diesem Skalarprodukt?

Eine Basis von Mnxn(ℝ) besteht z.B.

aus allen Matrizen, die an irgendeiner Stelle ne 1 und

sonst alles 0en haben.

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