Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) (i) \( \operatorname{Spur}\left(A B^{\top}\right)=\operatorname{Spur}\left(B^{\top} A\right)=\operatorname{Spur}\left(A^{\top} B\right)=\operatorname{Spur}\left(B A^{\top}\right) \) für \( A, B \in \mathbb{R}^{m \times n} \).
(ii) \( \operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Spur}\left(S^{-1} A S\right) \) für \( A \in \mathbb{R}^{n \times n}, S \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \)
(iii) \( \operatorname{Spur}(\alpha A+B)=\alpha \operatorname{Spur}(A)+\operatorname{Spur}(B) \) für \( A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}, \alpha \in \mathbb{R} \).
(b) Auf dem Vektorraum der Matrizen \( \mathbb{R}^{m \times n} \) wird durch
\( \langle A, B\rangle:=\operatorname{Spur}\left(A B^{\top}\right) \text { für } A, B \in \mathbb{R}^{m \times n} \)
ein Skalarprodukt definiert.
(c) Durch dieses Skalarprodukt wird eine Norm \( \|A\|_{F}^{2}=\langle A, A\rangle \) definiert. Schreiben Sie die Norm \( \|A\|_{F} \) als eine Funktion von den Singulärwerte von \( A \).
