a, b sowie c Teiler von a^3- b^3- c^3

Question

a, b, c ∈ℕ. Drücke a durch b und c aus, sodass a, b sowie c Teiler von a³- b³- c³ sind?

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Answer 1

Hallo Roland,

... mit ein wenig Probieren kommt man auf \(a=b+c\). Es ist :$$\phantom{=}a^{3}- b^{3}- c^{3} \\ =(b+c)^3 - b^3-c^3 \\ = b^3+3b^2c+3bc^2+c^3-b^3-c^3 \\ = 3b^2c+3bc^2 \\ = 3bc(b+c) \\ = 3abc$$

Comments

Zum Glück hat R die Frage so formuliert, dass nicht ganz klar ist, ob nur eine oder alle möglichen Lösungen gefunden werden sollen.

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Drücke a durch b und c aus, sodass a, b sowie c Teiler von a^3- b^3- c^3 sind?

Streng genommen ist der mit einem Fragezeichen abgeschlossene Satz keine Frage, sondern eine Aufforderung.

☺

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mit ein wenig Probieren kommt man auf \(a=b+c\).

Wie probiert man? Grundüberlegungen ?

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Es ist gut, auch binomische Formeln höherer Potenzen zu kennen:(b+c)³=a³+3ab(a+b)+b³.

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Wie probiert man? Grundüberlegungen ?

Einer meiner früheren Profs sagte einst: "Intelligentes Probieren" ... ;-)

aber im Ernst: da das ja für alle \(b\) und \(c\) gelten soll, wählte ich ein \(b\) und und ein \(c\) (zwei Primzahlen) und suchte einfach ein \(a\), was die Anforderung erfüllt.

Ich fand recht fix drei Kombinationen (geht mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ohne Programmieren):$$ b=3 \land c=5 \to a= 8 \\b=5 \land c=7 \to a= 12 \\ a = 7 \land c = 11 \to a = 18$$ spätestens hier lag dann der Verdacht \(a=b+c\) auf der Hand. Der Rest ist geschenkt.

Nach 26 Aufrufen ohne Antwort wurde ein Hinweis gegeben.

Den 'Hinweis' habe ich erst kapiert, nachdem ich meine Lösung hatte ;-)

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Einer meiner früheren Profs sagte einst: "Intelligentes Probieren"

Das ist eine Leerformel, wenn man sich um eine konkrete Antwort drücken will.

Der kritische Rationalist Hans Albert bestreitet hingegen die Brauchbarkeit von Leerformeln im Diskurs:

  „Die ideologische Brauchbarkeit der Leerformel steht somit in umgekehrtem Verhältnis zu ihrem Informationsgehalt.“

– Hans Albert: Ökonomische Ideologie und politische Theorie. Göttingen 1972, S. 19, Anm. 15.

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Es gibt für sowas einfach kein Patentrezept. Mathematik hat sehr viel mit Gesetzmäßigkeiten und Mustererkennung zu tun. Deswegen ist "intelligentes" Probieren fast immer das Mittel der Wahl. Es gibt Leute, die erkennen diverse Muster dann relativ schnell und wissen, was zum Ziel führen könnte und dann gibt es Leute, die erkennen noch nicht einmal ein Muster bei der Zahlen Folge 1, 4, 9, 16,... Und die heutigen Studenten haben nicht einmal die Motivation, Dinge auszuprobieren. Deswegen scheitern sie und bekommen nichts auf die Reihe. Oder ihnen fehlt es einfach an entsprechender Intelligenz. Nicht umsonst umfassen die meisten IQ-Tests Aufgaben zur Mustererkennung.