Kongruenzabbildungen eines Würfels

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie alle Permutation für die Kongruenzabbildung eines Würfels auf. Also die Permutation für die drei Raum Diagonalen hab ich schon aber ich weiß nicht, wie es weitergeht und hab auch keine Ahnung, wie die weiteren Permutationen der Kongruenzabbildungen sind. Ich weiß nur, dass es 48 sind.

Answer 1

Geometrische Anschauung:

Eine Isometrie des Würfels ist eindeutig dadurch bestimmt:

• Welche der sechs Seiten "oben" liegt (6 Möglichkeiten)
• Wie diese Seite rotiert ist (4 Möglichkeiten)
• Ob der Würfel korrekt orientiert ist, oder invertiert (z.B. punktgespiegelt) wurde (2 Möglichkeiten)

Ergibt insgesamt 48 Möglichkeiten, wenn du die Inversionen erlaubst, und 24 "orientierungserhaltende" Isometrien.

Algebraische Anschauung:

Jede Isometrie ist eindeutig dadurch bestimmt, wie sie die vier Diagonalen des Würfels permutiert, die Hintereinanderausführung von zwei Isometrien ergibt die Hintereinanderausführung der zugehörigen Permutationen, und umgekehrt ergibt eine Wahl von Permutation der Diagonalen eine eindeutig bestimmte orientierungserhaltende Isometrie des Würfels (lineare Algebra). Folglich muss deine Gruppe \(\mathrm{Sym}_\text{Würfel}=S_4\times \mathbb{Z}_2\) sein.

Wie bekommst du alle Permutationen raus?

...Nimm dir einen Würfel (am besten zwei, die Punktspiegelungen voneinander sind), nimm obere Charakterisierung und gehe alle Möglichkeiten durch und schreib hin, was so liegt :)