Aloha :)
zu 1) Die co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck vom Winkel \(\alpha\) zum complementären Winkel \((90^\circ-\alpha)\) übergeht, das ist der andere nicht-rechte Winkel. Übertragen auf das Bogenmaß heißt das:$$\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin(x)$$$$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos(x)$$$$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot(x)$$$$\cot\left(\frac\pi2-x\right)=\tan(x)$$
Zustäzlich sind alle Winkelfunktionen, außer dem Cosinus, punktsymmetrisch:$$\sin(-x)=-\sin(x)\quad;\quad\tan(-x)=-\tan(x)\quad;\quad\cot(-x)=-\cot(x)$$Der Ausreißer ist die Cosinus-Funktion, denn sie ist achsensymmetrisch:$$\cos(-x)=\pink+\cos(x)$$
Damit kannst du dir nun Folgendes überlegen:$$\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos\left(\frac\pi2-\left(x+\frac\pi2\right)\right)=\cos(-x)=\cos(x)\quad\checkmark$$
zu 2) Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus sind \(2\pi\)-periodisch, das heißt, du kannst zum Argument beliebig oft \(2\pi\) addieren oder suttrahieren, ohne dass sich der Wert ändert:$$\cos(x+\mathbb Z\cdot2\pi)=\cos(x)\quad;\quad \sin(x+\mathbb Z\cdot2\pi)=\sin(x)$$[Achtung: Tangens und Cotangens haben die Periode \(\pi\), nicht \(2\pi\).]
Damit ist klar:$$\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}+2\pi\right)=\sin\left(x+\frac\pi2\right)\stackrel{(1)}{=}\cos(x)\quad\checkmark$$
