Relationale Algebra Tupelkalkül

Question

Aufgabe:

Finden Sie für die folgenden Operationen der relationalen Algebra Entsprechungen im sicheren Tupelkalkül und im sicheren Domänenkalkül.

a) R ◃▹ S

b)    R ∩ S

c) R − S

d) σA=′1′∧B=′2′∨C=′3′ (R)

e)    ΠA,B,C(R)

f) ΠA,B,C (σC=′1′∧D=′2′∨E=′3′ (R))

Wobei ∏ eine Projektion ist und die geschwungenen R und S sind Sch(R) resp. Sch(S). Das x bedeutet ein kartesisches Produkt.

Definition

Sei R eine Relation über {A₁, …, A_k} und β ⊆ {A₁, …, A_k}.

So sei

\( \Pi_{\beta}(R) \quad:=\left\{\begin{array}{lll}t_{\beta} & I & t & \in & R\end{array}\right\} \)

Zudem:

Definition des Tupelkalküls

Atome
\( \mathrm{s} \) ，R, mit s Tupelvariable und R Relationenname
s.A \( \phi \) t.B, mit s und \( t \) Tupelvariablen, \( A \) und \( B \) Attributnamen und
\( \phi \) Vergleichsperator \( (=, \neq, \leq, \ldots) \)
s. A \( \phi \) c mit c Konstante

Formeln
Alle Atome sind Formeln
Ist \( \mathrm{P} \) Formel, so auch \( \neg \mathrm{P} \) und \( (\mathrm{P}) \)
Sind \( P_{1} \) und \( P_{2} \) Formeln, so auch \( P_{1} \wedge P_{2}, P_{1} \vee P_{2} \) und \( P_{1} \Rightarrow P_{2} \)
Ist \( \mathrm{P}(\mathrm{t}) \) Formel mit freier Variable \( \mathrm{t} \), so auch \( \forall t \in R(P(t)) \) und \( \exists t \in R(P(t)) \)

und

Der Domänenkalkül
Ein Ausdruck des Domänenkalküls hat die Form \( \left\{\left[v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right] \mid P\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right\} \)
mit \( \mathrm{v}_{1}, \ldots, \mathrm{v}_{\mathrm{n}} \) Domänenvariablen und \( \mathrm{P} \) Formel.

R ◃▹ S ist zudem so definiert:

Natürlicher Verbund (Natural Join)
Um den natürlichen Verbund von Relationen ganz allgemein einzuführen, gehen wir von Attributen \( A_{1}, \ldots, A_{m} \) und \( B_{1}, \ldots, B_{n} \) sowie den Relationenschemata
\( \mathcal{S C H}_{1}=\left(A_{1}, \ldots, A_{m}\right) \quad \text { und } \quad \mathcal{S C H}_{2}=\left(B_{1}, \ldots, B_{n}\right) \)
und Relationen \( R \) und \( S \) mit \( R\left(\mathcal{S C H}_{1}\right) \) und \( S\left(\mathcal{S C H}_{2}\right) \) aus.

Ausserdem gelte
\( \begin{aligned} \left\{A_{1}, \ldots, A_{m}\right\} \cap\left\{B_{1}, \ldots, B_{n}\right\} &=\left\{G_{1}, \ldots, G_{p}\right\} \\ \left\{B_{1}, \ldots, B_{n}\right\} \backslash\left\{G_{1}, \ldots, G_{p}\right\} &=\left\{H_{1}, \ldots, H_{q}\right\} \end{aligned} \)

Der natürliche Verbund \( (R \bowtie S) \) ist definiert als
\( \begin{aligned} (R \bowtie S):=& \\ \rho_{R \bowtie S\left(A_{1}, \ldots, A_{m}, H_{1}, \ldots, H_{q}\right)}(\\ & \pi_{R . A_{1}, \ldots, R . A_{m}, S . H_{1}, \ldots, S . H_{q}}(\\ &\left.\left.\sigma_{R . G_{1}=S . G_{1} \wedge \cdots \wedge R . G_{p}=S . G_{p}}(R \times S)\right)\right) \end{aligned} \)

Fragen:

- Wie bringe ich nun die Relationen in ein   Tupel- resp. Domänenkalkül?

Π β (R):={tβ It∈R}