Zeigen oder widerlegen Sie: Wenn A ∈ Kn×n diagonalisierbar ist, dann auch A2.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Wenn A ∈ K^n×n diagonalisierbar ist, dann auch A².
b) Wenn A ∈ K^n×n so ist, dass A² diagonalisierbar ist, dann ist auch A diagonalisierbar.

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht wirklich weiter. Ich vermute, dass eine Aufgabe stimmt und die andere nicht, aber ich weiß nicht, welche. Ich habe angefangen mit A=TBT^-1 und A²=TB²T^-1, aber wenn ich nicht weiß ob B und B² diagonalisierbar sind, hilft mir das nicht weiter. Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar!

Comments

Aussage b) ist falsch. Wähle beispielsweise \(n=2,\,\mathbb K=\R\) und \(A=\small\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\).

Aussage a) ist wahr. Wenn \(A=TDT^{-1}\) und \(D\) eine Diagonalmatrix ist, dann
ist \(A^2=TD^2T^{-1}\) und \(D^2\) ebenfalls eine Diagonalmatrix.

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Vielen Dank, das hilft mir sehr!

Answer 1

Wenn A ∈ K^n×n diagonalisierbar ist

Dann gibt es eine Diagonalmatrix \(D\) und eine invertierbare Matrix \(T\), so dass

        \(D = TAT^{-1}\)

ist.

dann auch A².

Dann gibt es eine Diagonalmatrix \(D'\) und eine invertierbare Matrix \(T'\), so dass

      \(D' = T'A^2T'^{-1}\)

ist.

Stelle eine Vermutung auf, was \(D'\) sein könnte und beweise sie.