Aufgabe:
Richtig oder falsch?
(a) Jede orthogonale Matrix ist orthogonal diagonalisierbar.
(b) Eine reelle Matrix ist genau dann orthogonal diagonalisierbar (über R),
wenn sie symmetrisch ist.
(c) Jede reelle normale Matzrix ist symmetrisch.
(d) Jede unitäre Matrix ist normal.
(e) Jede normale Matrix ist unitär.
(f) Eine komplexe Matrix ist genau dann orthogonal diagonalisierbar, wenn
sie normal ist.
Begrunden Sie jeweils Ihre Antwort!
Problem/Ansatz:
(a) Jede orthogonale Matrix ist orthogonal diagonalisierbar.
richtig, eine orthogonale Matrix mit ℚ∈ℝ ist normal, also gilt QQT=QTQ.Über komplexen Zahlen ist Q damit unitär diagonalisierbar und somit gibt es eine unitäre Matrix U∈ℂnxm und es gilt: U-1QU=D (D=Diagonalmatrix mit EW von Q). Spaltenvektoren von U sind dann paarweise orthonormale EVv on Q darauf folgt, Eigenräume einer orthog. Matrix sind paarweise orthogonal.
(b) Eine reelle Matrix ist genau dann orthogonal diagonalisierbar (über R),
wenn sie symmetrisch ist.
richtig, die algebraische und geometrische Vielfachheiten der EW stimmen überein und die EV zu verschiedenen EW sind stets linear unabhängig, so dass gilt: S-1AS=D. Die EV zu verschiedenene EW sind orthogonal und die Selbstadjungiertheit gilt: λi<xi,xj>=<λixi,xj>=<Axi,xj>=<xi,Axj>=<xi,λjxj>=λj<xi,xj>
λi und λj verschieden daraus folgt <xi,xj>=0
ONB kann gebildet werden es gilt: STAS=D.
(c) Jede reelle normale Matzrix ist symmetrisch.
falsch, nicht JEDE
eine reelle normale Matrix ist symmetrisch, wenn gilt: ATA=AA=AAT
Beispiel: Schiefsymmetrische Matrizen sind nicht normal.
(d) Jede unitare Matrix ist normal.
richtig, weil nach Spektralsatz gilt: A=UDU* (D= Diagonalmatrix). Daraus folgt, es exitiert eine ONB aus den EV von A und die Hauptdiagonallenelemente von D sind die EW von A.
(e) Jede normale Matrix ist unitar.
Nach Spektralsatz: Eine Matrix A ist dann normal wenn es eine unitäre Matrix U gibt, so dass gilt: A=UDU* daraus folgt normal Matrizen sind unitär diagonalisierbar. Also ist die Aussage falsch, es muss eine unitäre Matrix U zur Matrix A geben.
(f) Eine komplexe Matrix ist genau dann orthogonal diagonalisierbar, wenn
sie normal ist.
Das hab ich leider nicht!
Ist jemand so nett und würde meine Aufgaben a-e kommentieren und sagen ob ich richtig argumentiert habe und eventuell bei f mir sagen was dahin kommt.
Generell irritiert mich die Aufgabe auch, da es für diese Insgesamt 4 Punkte gibt und ich mir nicht erklären kann wo der Fokus der Punkte liegt. Erst dachte ich für richtig bzw. falsch gibt es 0,5Punkte und dann für die Begründung ebenfalls 0,5 Punkte aber bei 6 Aussagen ist das für mich nciht ganz schlüsslig. Weshalb ich mehr Fokus auf meine Begründung gelegt habe die hoffentlich richtig ist.
freundliche Grüße
noXa
