Ich glaube es relativ schwierig bis unmöglich, das Integral zu lösen. Also würde ich es mit einem Vergleichskriterium versuchen. Da für die gesuchte Funktion
f(x)=1+x2ln(x) gilt
∣f(x)∣<−ln(x)
Kannst Du mit dem Majorantenkriterium für Integrale zeigen, dass das gesuchte Integral konvergiert, da Du das Integral
∫01−ln(x)dx
berechnen kannst.