Uneigentliches Integrale x^a bestimmen

Question

kann mir jemand folgende Aufgabe erklären?

Bestimme:   ∫x^a  dx ; a ∈ ℤ

Also Integral von x^a mit der unteren Grenze 1 und der oberen Grenze + unendlich mit a ∈ ℤ

Und ich soll folgende Fälle untersuchen: a > -1 ; a = 1 ; a < -1 

EDIT: Sorry, ich meinte a = -1 ; ich konnte das dann nur nicht mehr editieren.

Comments

Die Fallunterscheidung ist seltsam,

a > -1 ; a = 1 ; a < -1   

a > -1  schließt  a = 1  mit ein  ??

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Sorry, ich meinte a = -1 ; ich konnte das dann nur nicht mehr editieren 

Answer 1

∫ x ^a dx
a = 1
Stammfunktion
S ( x ) = x^2 / 2

[ S ( x ) ] zwischen 1 und b
lim b −> ∞ = 1/2 * ( b ^2 - 1^2 ) = ∞

a = -1
∫ x ^{-1} dx
S ( x ) = ln ( x )
[ S ( x ) ] zwischen 1 und b
lim b −> ∞ = ln ( b ) - ln ( 1 ) = ∞ - 0 = ∞

Answer 2

f(x) := x^a ist stetig, also Hauptsatz der Analysis

        Ist F'(x) = f(x) im Intervall [x₁, x₂] stetig,
        dann ist ∫_x1..x2 f(x) dx = F(x₂) - F(x₁).

anwenden. Für a ≠ -1 und F(x) = 1/(a+1) · x^a+1 ist F'(x) = f(x), also

        ∫_x1..x2 f(x) dx = 1/(a+1)·x₂^a+1 - 1/(a+1)·x₁^a+1 = 1/(a+1)·(x₂^a+1-x₁^a+1).

Es ist x₁ = 1. Einsetzen liefert

        ∫_1..x2 f(x) dx = 1/(a+1)·(x₂-1).

Dann zieht man die Definition

        ∫_a..∞ f(x) dx = lim_x2→∞ ∫_a..x2 f(x) dx

uneigentlicher Integrale zu Rate und bekommt

        ∫_1..∞ x^a = lim_x2→∞ 1/(a+1)·(x₂^a+1-1).

Für a = -1 geht das genau so, allerdings mit anderer Stammfunktion.