Konvergenz eines Uneigentlichen Integrals

Question

Wie kann ich die Konvergenz des folgenden Integrals am besten beweisen, kann mir dafür jemand bitte ein Tipp geben, bzw. einen Ansatz?

Answer 1

Zeige: f(x) :=  exp(1/x) - 1 - 1/x ≥ 0 für alle x ∈ ℝ⁺  .    #

Dann ist    exp(1/x) - 1  ≥ 1/x   für alle x ∈ ℝ⁺  .

Und damit ist 1/x eine Minorante. Da das Integral bei 1/x nicht

konvergiert, tut es das bei  exp(1/x) - 1 also auch nicht.

Zu # :

Es ist der Grenzwert von exp(1/x) - 1 - 1/x für x gegen unendlich gleich 0.

Und für x=1  ist der Ausdruck positiv.

Wäre er also für irgendein x negativ , dann müsste  f  mindestens einen

Extrempunkt haben.  Es ist aber

f ' (x) = 1/x² * ( 1 - e ^1/x )   ungleich 0 für alle x>0 .

Also hat f keine Extrema in diesem Bereich.   q.e.d.

Answer 2

e^{1/x}=1+1/x+1/(x^2*2!)+...>1+1/x

e^{1/x}-1=...>1/x

Divergiert im unendlichen also.