Zeigen oder widerlegen Sie: Für alle p ∈ K[X] mit deg(p) = d > 0 gibt es ein A ∈ Kd×d mit p(A) = 0.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Für alle p ∈ K[X] mit deg(p) = d > 0 gibt es ein A ∈ K^d×d mit p(A) = 0.
b) Es gibt eine Matrix A ∈ Q^3×3, deren Minimalpolynom X² − 2 ∈ Q[X] ist.
c) Seien A,B ∈ K^n×n ähnlich und p ∈ K[X], dann sind auch p(A) und p(B) ähnlich.

Problem/Ansatz:

Bei a) und c) stecke ich total fest, ich weiß nicht einmal, wie ich da einen Beweis anfangen könnte, kann mir da bitte jemand helfen? Bei b) hätte ich gesagt, dass es keine Matrix gibt, weil das Polynom mindestens den Grad 3 haben muss, stimmt das? Wie könnte ich das beweisen?

Comments

Bei (a) könnten https://de.wikipedia.org/Begleitmatrix und https://de.wikipedia.org/Cayley-Hamilton helfen.

Answer 1

Bei c) vielleicht so:

Seien A,B ∈ K^n×n ähnlich, dann gibt es eine reguläre

Matrix S ∈  K^n×n  mit  \(  B=S^{-1} \cdot A \cdot S    \).

Dann genügt zu zeigen, dass für jedes Polynom p ∈ K[X] auch gilt

      \(  p(B)=S^{-1} \cdot p(A) \cdot S   \).  #

Betrachte dazu erst mal ein Polynom von der Form p(X)=a*Xⁿ mit

natürlichem n größer 1 und a∈K.

Dann gilt \(  p(B)=p(S^{-1} \cdot A \cdot S)=a(S^{-1} \cdot A \cdot S)^n   \)

\(  =a(S^{-1} \cdot A \cdot S)(S^{-1} \cdot A \cdot S)\dots(S^{-1} \cdot A \cdot S)    \)

Wegen der Assoziativität kann man die Klammern weglassen und entstehen

zwischen durch immer Produkte der Form     \( S^{-1}  \cdot S = E   \).

Die kann man also weglassen und es bleibt

\( p(B)  =a(S^{-1} \cdot A \dots  \cdot A \cdot S)  =a S^{-1}\cdot A^n \cdot S \)

\(  = S^{-1} a\cdot A^n \cdot S = S^{-1} \cdot p(A) \cdot S \)

Also gilt # jedenfalls für Polynome der Art   p(X)=a*Xⁿ .

Dann sei p nun ein Polynom der Art p(X)=a*X+b mit a,b ∈ K

Und es ist wieder   \(  B=S^{-1} \cdot A \cdot S   \), also

\(  p(B)=a(S^{-1} \cdot A \cdot S)+b=aS^{-1} \cdot A \cdot S + b \cdot E   \)

\(  =S^{-1} \cdot aA \cdot S +b S^{-1} \cdot S   =S^{-1} \cdot aA \cdot S + S^{-1}b \cdot S   \)

\(  =S^{-1} \cdot (aA+b) \cdot S =S^{-1} \cdot p(A) \cdot S  \)

Und jedes Polynom ist ja nun eine Summe von Polynomen der

betrachteten Art, also muss man nur noch überlegen, ob sich # auch

auf die Summe zweier solcher Polynome überträgt. Dem ist so, denn aus

\(  B=S^{-1} \cdot A \cdot S   \) folgt ja dann

\(  p(B)=S^{-1} \cdot p(A) \cdot S   \)  und      \(  q(B)=S^{-1} \cdot q(A) \cdot S   \).

==>      \( (p+q)(B)= p(B)+q(B) \)

 \( = S^{-1} \cdot p(A) \cdot S +S^{-1} \cdot q(A) \cdot S   \)

\( = S^{-1} \cdot ( p(A) \cdot S + q(A) \cdot S)    \)

\( = S^{-1} \cdot ( p(A) + q(A) ) \cdot S= S^{-1} \cdot ( p+ q)(A)  \cdot S  \) q.e.d.