Ich nehme mal an, dass f und g Polynome vom Grad n resp. m sind.
Behauptung 1. deg(f · g) = deg(f) + deg(g).
Gemäss Annahme: deg(f) =n und deg (g) = m
f.g = (a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n).(b0+b1x+b2x^2+…+bmx^m)
= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + … + anbmx^n*x^m
= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + … + anbmx^{n+m}
Der höchste Exponent von x ist n+m. Deshalb ist deg(f.g) = m+n = def(f) + deg(g).qed.
2. deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)).
f+g = (a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n)+(b0+b1x+b2x^2+…+bmx^m)
= a0 +b0 + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 … +(amin(n,m) + bmin(n,m))x^{min(n,m)} + …ab hier nur nach ai oder bi ≠0 …(a oder b)max(n,m)^max(n,m)
Deshalb deg(f+g) = max(deg(f), deg(g)). qed.