Seien f, g ∈ K[X]. Zeigen Sie, dass gilt: 1. deg(f · g) = deg(f) + deg(g). 2. deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)).

Question

Hi,

die Aufgabe lautet:

Seien f, g ∈ K[X]. Zeigen Sie, dass gilt:
1. deg(f · g) = deg(f) + deg(g).
2. deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)).

Anmerkung: f und g sind Polynome.

Wäre schön, wenn sie mir jemand lösen könnte oder mir helfen kann.

Vielen Dank

Comments

Heisst K[X] dass f und g sind Polynome sind?

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Ja, hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen :/

Answer 1

Ich nehme mal an, dass f und g Polynome vom Grad n resp. m sind.

Behauptung 1. deg(f · g) = deg(f) + deg(g).

Gemäss Annahme: deg(f) =n und deg (g) = m

f^.g = (a0 + a1x + a2x² + … + anxⁿ)^.(b0+b1x+b2x²+…+bmx^m)

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + … + anbmxⁿ*x^m

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + … + anbmx^n+m

Der höchste Exponent von x ist n+m. Deshalb ist deg(f^.g) = m+n = def(f) + deg(g).qed.

2. deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)).

f+g = (a0 + a1x + a2x² + … + anxⁿ)+(b0+b1x+b2x²+…+bmx^m)

= a0 +b0 + (a1+b1)x + (a2+b2)x² … +(a_min(n,m) + b_min(n,m))x^min(n,m) + …ab hier nur nach ai oder bi ≠0 …(a oder b)_max(n,m)^max(n,m)

Deshalb deg(f+g) = max(deg(f), deg(g)). qed.